۱-۲ استنباط بیزی

در استنباط آماری دو رهیافت وجود دارد: استنباط بیزی و استنباط بسامد­گرا که اغلب در اصول احتمال متفاوت هستند. استنباط بسامد­گرا، احتمال را به عنوان حدی از نسبت فراوانی پیشامدها در تعداد زیادی از دنباله­ها تعریف می­ کند و فقط برای مفهوم آزمایشاتی که تصادفی هستند، تعریف می­ شود. درحالی­که استنباط بیزی می ­تواند احتمالات را در هر موقعیتی تعیین کند، حتی زمانی که فرایند، تصادفی نباشد. در استنباط بیزی، احتمال روشی برای بیان درجه­ای از اعتقاد شخص یا گواه معلوم است.

( اینجا فقط تکه ای از متن فایل پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

۱-۲-۱ مدل بر پایه استنباط بیزی

اساس استنباط بیزی از رابطه زیر ناشی می­ شود:
که در آن، توزیع پیشین بردار پارامتر قبل از مشاهده ، تابع درستنمایی تحت مدل و تابع توزیع توأم پسین بردار پارامتر است که بعد از در نظر گرفتن پیشین و داده ­ها، در مورد بردار پارامتر میزان عدم اطمینان را بیان می­ کند. و بالاخره مخرج کسر
درستنمایی کناری است.
در رابطه (۱-۲)، یک ثابت تناسب است، بنابراین:
این تناسب را می­توان به عنوان پسین توأم غیرنرمال نسبت به درستنمایی پیشین در نظر گرفت. در استنباط بیزی معمولاً، هدف خلاصه کردن توزیع پسین توأم غیرنرمال نیست بلکه هدف خلاصه کردن توزیع­های کناری پارامترها است. مجموعه کامل پارامتر را می­توان به صورت:
جدا کرد به­ طوری­که زیر­برداری دلخواه و متمم زیر­بردار است، که اغلب به عنوان پارامترهای مزاحم در نظر گرفته می­شوند. در چارچوب بیزی، در مسائل نظری حضور پارامترهای مزاحم در هیچ فرمولی در نظر گرفته نمی­ شود. پارامتر مزاحم، پارامتری است که در توزیع پسین توأم مدل وجود دارد اما پارامتر مورد نظر نیست. توزیع پسین کناری و پارامتر مورد نظر را می­توان به صورت زیر نوشت:
در استنباط بیزی، کاربر می ­تواند استنباط­ها را از توزیع­های پسین کناری ارزیابی و تعیین کند.

۱-۲-۲ مؤلفه­ های استنباط بیزی

مؤلفه­ های استنباط بیزی عبارتند از:

1. 1. ، مجموعه ­ای از توزیع­های پیشین برای بردار پارامتر است و از احتمال، به معنی عدم­اطمینان کمّی برای قبل از در نظر گرفتن داده ­ها، استفاده می­ کند.

1. 1. ، تابع درستنمایی است که در آن تمام متغیرها در یک مدل احتمالاتی کامل به هم مرتبط می­شوند.

1. 1. ، توزیع پسین توأمی است که عدم­اطمینان در مورد بردار پارامتر را بعد از در نظر گرفتن پیشین و داده ­ها بیان می­ کند. اگر بردار پارامتر به یک پارامتر واحد دلخواه و پارامترهای باقیمانده که پارامتر مزاحم در نظر گرفته می­شوند، تقسیم شود آنگاه ، توزیع پسین کناری است.

۱-۲-۳ برازش مدل

در استنباط بیزی متداول­ترین روش ارزیابی مدل آماری برآورد شده، معیار اطلاع انحراف است. اسپیگل­هالتر و همکارن (۲۰۰۲) معیار اطلاع انحراف را برای مقایسه مدل بیزی پیشنهاد دادند. این معیار بر پایه انحراف زیر است:
به طوری که، فقط تابعی از داده ­ها است. بر پایه انحراف، معیار اطلاع انحراف عبارت است از:
بخش اول این رابطه که به عنوان امیدریاضی پسین انحراف تعریف می­ شود، به عنوان شاخص برازش بیزی مدل مورد استفاده قرار می­گیرد، بنابراین:
مدلی که داده ­ها را بهتر برازش می­دهد، مقدار لگاریتم درستنمایی بزرگتر و بنابراین مقدار کوچکتری دارد. بخش دوم که به میزان پیچیدگی مدل مربوط است، به عنوان اختلاف بین میانگین پسین انحراف و انحراف میانگین پسین پارامترها برای شاخص پیچیدگی مدل به کار می­رود:
که در آن ، برآوردگر بیزی پارامتر است. توجه کنید که معیار اطلاع انحراف را می­توان به دو شکل زیر بیان کرد:
و
معیار اطلاع انحراف تعمیمی از معیار اطلاع آکاییک () و معیار اطلاع بیزی () است. همانند معیار اطلاع آکاییک و معیار اطلاع بیزی وقتی حجم نمونه بزرگ باشد معیار اطلاع انحراف یک تقریب مجانبی است. مدل­هایی که معیار اطلاع انحراف کمتری دارند، ترجیح داده می­شوند.

۱-۳ مفصل

زمانی­که فرشه به دنبال پیدا کردن جواب سؤالی در مورد رابطه بین یک تابع احتمال چندبعدی و حاشیه­هایش با کمترین بعد بود، مفهوم مفصل در سال ۱۹۵۹ توسط اسکلار مطرح شد. در ابتدا، مفصل­ها عمدتاً برای بسط نظریه فضاهای متریک احتمالی به کار می­رفت، اما بعداً، برای تعریف معیار وابستگی ناپارامتری بین متغیرهای تصادفی مورد توجه قرار گرفتند و سپس، نقش مهمی را در احتمال و آمار ریاضی ایفا کردند.
در طی زمانی طولانی، آماردان­ها به رابطه بین یک تابع توزیع چندمتغیری و حاشیه­هایش با کمترین بعد (تک متغیره یا ابعاد بزرگتر)، توجه داشته اند. در دهه پنجاه، فرشه به این موضوع علاقه نشان داد و توابع توزیع دو­متغیره و سه­متغیره را به شرط حاشیه­های تک­متغیره بررسی کرد. این مسئله برای حالت حاشیه­های تک متغیره، با ایجاد رده جدیدی از توابع که مفصل نامیده می­شوند، توسط اسکلار در سال ۱۹۵۹ پاسخ داده شد. این توابع جدید به از توابع توزیع دو­متغیره محدود می­شوند درحالی­که حاشیه­ها توزیع یکنواخت روی هستند. به­ طور­خلاصه اسکلار نشان داد که اگر یک تابع توزیع دو­متغیره با حاشیه­های و باشد، آنگاه مفصل ایی وجود دارد به­ طوری­که .

۱-۳-۱ مفهوم مفصل

تعریف۱-۵ (مفصل): یک مفصل بعدی است به طوری که

1. 1. به ازای هر در ، .

1. 1. به ازای هر در ، .

1. 1. به ازای هر ، حجم B نامنفی است:

به بیان ساده­تر تابع مفصل عبارت است از: توزیع چندمتغیره­ای که توزیع­های کناری آن به طور یکنواخت روی توزیع شده ­اند.

۱-۳-۲ قضیه اسکلار

قضیه۱-۱ (قضیه اسکلار): فرض کنید بردار تصادفی بعدی با تحقق و به ازای ، توابع توزیع کناری و تابع توزیع توأم باشد آن­گاه برای Y پیوسته یا گسسته داریم:
که در آن C به عنوان تابع مفصل، معلوم است.
در حالت پیوسته می­توان چگالی چندمتغیره را با مشتق­گیری از دو طرف معادله قبل به صورت زیر تعیین کرد:

۱-۳-۳ حالت پیوسته

برای دو متغیر پیوسته و داریم:
اهمیت مفصل­ها با بهره گرفتن از قضیه اسکلار، قابل توجیه است. این قضیه بیان می­ کند، مفصل یکتای وجود دارد به طوری که را از طریق
به و مربوط می­ کند. بنابراین اطلاعات موجود در توزیع توأم در توزیع­های کناری و تابع مفصل که ساختار وابستگی بین و را نشان می­دهد، تقسیم شده است. به­عبارت­دیگر، به ازای هر تابع مفصل و هر تابع توزیع تک­متغیره و ، تابع ، همان تابع توزیع دومتغیره تعیین شده در (۱-۴) است. تبعاً، یک ویژگی مؤثر رده مفصل این است که، زمانی­که مفصل هیچ وابستگی با رفتار کناری ندارد حذف اثر کناری از طریق آن به طور مؤثری به مدل­سازی و ساختار وابستگی قابل فهم، کمک می­ کند. این برای کاربردهای تجربی مفید است زیرا اگر توزیع دومتغیره معلوم نباشد اما حاشیه­های پیوسته تک متغیره و معلوم باشند آن­گاه انتخاب مناسب مفصل در (۱-۴)، نمایشی از یک توزیع دومتغیره نامعلوم فراهم می­ کند. علاوه­براین، مفصل را می­توان بر حسب برداری از پارامترها که درجه وابستگی بین کناری­های تک­متغیره را می­گیرد، مشخص کرد.
در زیر خانواده­ای از مدل­های مفصل دومتغیره که تعدادی از ویژگی­های مطلوب را داراست، ارائه شده است: