بنابراین این معادله، یک معادله هذلولوی است.

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

معادله بالا، یک معادله بیضوی می­باشد.
و معادله سوم از نوع سهموی می­باشد.
۱-۵ : صورت نرمال معادلات دیفرانسیل جزئی خطی مرتبه دوم
معادله دیفرانسیل جزئی مرتبه دوم زیر را در نظر می­گیریم
برای به­دست آوردن صورت نرمال معادلات دیفرانسیل جزئی مرتبه دوم و قرار می­دهیم. در این­صورت داریم
که در آن
.
هم­چنین رابطه^ء بین ضرایب جدید و اولیه به­ صورت زیر است
حال این سوال به­ ذهن می­رسد که وچه مقداری داشته باشند تا به ساده­ترین شکل معادله برسیم؟ اگر و طوری انتخاب شوند که ضرایب صفر شوند آن­گاه ساده ترین شکل معادله به­دست خواهد آمد. پس فرض می­کنیم ومتغیر­هایی باشند که ضرایب در معادله (۱-۱۱) صفر شوند. یعنی
معادلات (۱-۱۰) و (۱-۱۱)، شکل یکسانی دارند، از این رو می­توان آن­ها را به­ صورت زیر در نظر گرفت
که به­جای یا به­کار می­رود. معادله بالا را بر تقسیم می­کنیم
۱-۵-۱: صورت نرمال معادلات دیفرانسیل جزئی هذلولوی
اگر در معادله دیفرانسیل (۱-۱۱) داشته باشیم
آن­گاه معادله (۱-۱۱)به­ صورت زیر نوشته می­ شود
در این­صورت معادله (۱-۱۲) را صورت نرمال معادله دیفرانسیل جزئی هذلولوی می­نامیم.
۱-۵-۲: صورت نرمال معادلات دیفرانسیل جزئی سهموی
اگر در معادله دیفرانسیل (۱-۱۱) داشته باشیم
آن­گاه معادله (۱-۱۱) به­ صورت زیر نوشته می­ شود
در این­صورت معادله (۱-۱۳) را صورت نرمال معادله دیفرانسیل جزئی سهموی می­نامیم.
۱-۵-۳: صورت نرمال معادلات دیفرانسیل جزئی بیضوی
اگر در معادله دیفرانسیل (۱-۱۱) داشته باشیم
آن­گاه معادله (۱-۱۱) به­ صورت زیر نوشته می­ شود
در این­صورت معادله (۱-۱۴) را صورت نرمال معادله دیفرانسیل جزئی بیضوی می­نامیم.
فصل دوم
حل معادلات هذلولوی با روش تجزیه آدومین
۲-۱: مقدمه
۲-۲: روش تجزیه آدومین
۲-۳: حل معادلات هذلولوی با روش تجزیه آدومین
۲-۴: مثال­های عددی

۲-۱:
در این فصل به معرفی روش تجزیه آدومین^[۴] که یک روش عددی برای حل معادلات تابعی است، می­پردازیم و این روش را برای حل دسته­ای از معادلات دیفرانسیل جزئی تحت عنوان معادلات هذلولوی به­کار می­بریم[۷-۳].
۲-۲: روش تجزیه آدومین
یکی از روش­های عددی که برای حل انواع معادلات تابعی مانند، معادلات دیفرانسیل جزئی، معادلات انتگرال و غیره مورد توجه قرار گرفته است، روش تجزیه آدومین است. این روش توسط جرج آدومین (۱۹۲۰-۱۹۹۶) معرفی شد. وی در اوایل دهه^ء در پژوهش­های خود به روش جدیدی برای حل معادلات تابعی رسید، به­تدریج این روش را توسعه داد و در اوایل دهه^ء هشتاد آن را ارائه کرد. در این روش جواب معادله به­ صورت یک سری نامتناهی در نظر گرفته می­ شود.
یکی از مهم­ترین تفاوت­های روش تجزیه آدومین با سایر روش­های عددی برای یافتن جواب تقریبی معادلات دیفرانسیل این است که در این روش می­توان جواب را به­ صورت یک سری نامتناهی محاسبه کرد. برای این کار باید از بسط تیلور تابع معلوم حول نقطه ابتدای بازه استفاده شود. از طرفی چون بسط تیلور فقط در نقطه داده شده دقیق است و هر چه از آن نقطه دور شویم دقت آن کم می­ شود. پس جوابی که از روش تجزیه آدومین به­دست می ­آید دارای خطا می باشد.
:۱-۲–۲ساختار کلی روش تجزیه آدومین
معادله تابعی
را در حالت کلی در نظر می­گیریم که در آن یک عملگر از فضای باناخ به توی است ویک تابع معلوم در است هدف پیدا کردن است که در معادله (۱-۲) صدق کند.
فرض می­کنیم معادله^ء (۱-۲) برای هر دارای جواب یکتا باشد و هم­چنین فرض می­کنیم عملگر دارای جملات خطی و غیر­خطی باشد. اگر قسمت خطی را با و قسمت غیر­خطی را با نمایش دهیم، داریم
قسمت خطی را می­توان به­ صورت تجزیه کرد که در آن یک عملگر معکوس پذیر و قسمت باقی­مانده عملگر خطی است. بنابراین عملگر را می­توان به­ صورت زیر تجزیه کرد.
با توجه به معادله^ء (۱-۲) ،
و چون معکوس پذیر است،
قرار می­دهیم ، که یک عملگر خطی است و که عملگر غیر خطی است. پس داریم
روش تجزیه آدومین عبارت است از نمایش به­ صورت مجموع سری