اگر معادله (۲-۴-۱) را برحسب های بزرگ بسط دهیم داریم:
(۲-۴-۲)
همان­طور که انتظار داریم با اعمال این لاگرانژی به (لاگرانژی ماکسول) تبدیل می­ شود.
کنش میدان الکترومغناطیسی غیرخطی لگاریتمی به صورت زیر معرفی می­ شود:
(۲-۴-۳)
همچنین با وردش لاگرانژی لگاریتمی نسبت به ، معادلات غیرخطی الکترومغناطیسی لگاریتمی به­ صورت زیر حاصل می­گردد.
(۲-۴-۴)
که با حل معادله­ (۲-۴-۴) در یک فضازمان مینکوفسکی در n+1 بُعدی به­ صورت زیر ساده می­ شود:
(۲-۴-۵)
با حل این معادله بر حسب داریم:
(۲-۴-۶)
که در رابطه­ فوق می­باشد. اگر رابطه­ (۲-۴-۶) را بر حسب های بزرگ بسط دهیم داریم:
(۲-۴-۷)
که در حد و برای ۴- بُعد، همان میدان الکتریکی عکس مجذوری بار نقطه­ای در معادله­ خطی ماکسول به­دست می ­آید. همچنین اگر رابطه­ (۲-۴-۶) را بر حسب های کوچک بسط دهیم داریم:

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

(۲-۴-۸)
که نشان می­دهد همانند نظریه­ بورن- اینفلد میدان الکتریکی ذرات نقطه­ای در مبدا متناهی می­ شود.
۲-۵ نظریه­ غیرخطی الکترودینامیک: نظریه­ نمایی(^[۱۳]ENEF)
لاگرانژی غیرخطی نمایی نخستین بار در سال ۲۰۱۲ در مرجع ]۲۲[ ارائه شد. لاگرانژی غیرخطی نمایی به شکل
(۲-۵-۱)
می­باشد که در آن پارامتر غیرخطی می­باشد. همان‌طوری در مرجع ]۲۲[ آمده، این لاگرانژی شبیه الکترودینامیک بورن و اینفلد واگرایی میدان الکتریکی در از بین نمی­برد اما میدان الکتریکی بدست آمده برای ذرات باردار شبه نقطه­ای در های کوچک و نزدیک به صفر خیلی کمتر از مقدار بدست آمده از معادلات ماکسول است. به عبارت دیگر شکل نمایی لاگرانژین الکترودینامیک از خصوصیاتی مابین الکترودینامیک بورن- اینفلد و الکترودینامیک ماکسول برای میدان الکتریکی ذرات باردار نقطه­ای برخوردار است. این خصوصیت جالب توجه، در واقع یک الگوی واقعی­تر و در عین حال انعطاف­پذیرتر از میدان­های الکترومناطیس ذرات باردار ارائه می­ کند.
اگر معادله (۲-۵-۱) را برحسب های بزرگ بسط دهیم داریم:
(۲-۵-۲)
با اعمال این لاگرانژی به (لاگرانژی ماکسول) تبدیل می­ شود.
همچنین با وردش لاگرانژی نمایی نسبت به ، معادلات غیرخطی الکترومغناطیسی نمایی حاصل می­گردد.
(۲-۵-۳)
که با حل معادله­ (۲-۵-۳) در یک فضازمان مینکوفسکی در n+1 بُعدی به معادله­:
(۲-۵-۴)
می­رسیم و با حل این معادله عبارت زیر برای میدان الکتریکی به­دست می ­آید:
(۲-۵-۵)
که در این رابطه می­باشد. همچنین تابع به صورت تعریف می­ شود. اگر رابطه (۲-۵-۵)­ را بر حسب های بزرگ بسط دهیم داریم:
(۲-۵-۶)
که در حد و برای ۴- بُعد، همان میدان الکتریکی بار نقطه­ای در معادله­ خطی ماکسول استخراج می­ شود.
در پایان جهت مقایسه­ میدان­های غیرخطی با یکدیگر و نیز با میدان خطی ماکسول، این میدان­ها را در یک نمودار ترسیم می­کنیم:

شکل ۲-۲: نمودار بر حسب به ازای ، خط پیوسته پررنگ مربوط به میدان ماکسول، خط نقطه­چین مربوط به میدان نمایی، خط پیوسته مربوط به میدان بورن- اینفلد و خط چین مربوط به لگاریتمی می­باشد.
همان­طور که در شکل (۲-۲) می­بینیم به ازای های کوچک میدان الکتریکی ماکسول (خط پررنگ) به بی­نهایت میل می­ کند و میدان­های غیرخطی بورن- اینفلد و لگاریتمی (خط چین افقی و عمودی) به یک مقدار محدود و برابر میل می­ کنند و میدان غیرخطی نمایی به بی­نهایت میل می­ کند اما سرعت واگرایی آن کمتر از میدان ماکسول می­باشد.