حال با دو بار انتگرال گیری از نامساوی فوق داریم:

[با توجه به تعریف ]

[از رابطه (۲-۱۰) داریم]

[با توجه به ]

[چون ]

[با توجه به (۲-۲) و ]

بنابراین برای هر داریم: ، در نتیجه (۲-۱۹) بدست می آید.

( اینجا فقط تکه ای از متن فایل پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

فرض کنیم بطوری که ، از ۹ می دانیم F به مینیمم مقدارش روی Q می رسد و
(۲-۲۲)
اگر ، مینیمم مقدار F روی Q و باشد. از رابطه (۲-۴) با در نظر گرفتن در نقش x و در نقش h، داریم:

از نامساوی فوق و (۲-۲۲) می رسیم به:

در نتیجه و (۲-۲۰) بدست می آید، (۲-۲۱) نیز همان رابطه (۲-۱۷) است .□
نتیجه اصلی از خواص بیان شده به صورت توصیفی از رفتار روش میرا شده نیوتن در زیر بیان می شود. (برای سادگی، فرض می کنیم F ناتباهیده است).
۱۱)خلاصه روش میرا شده نیوتن: فرض کنیم F تابع خود هماهنگ و ناتباهیده روی Q باشد. آنگاه:
الف) [وجود مینیمم مقدار] F به مینیمم مقدارش روی Q می رسد اگر و تنها اگر از پایین روی Q کراندار باشد:

برای برخی از x ها.
ب) فرض کنیم داده شده است؛ فرایند مینیمم سازی میرا شده نیوتن با تکرار زیر را در نظر بگیرید:
(۲-۲۳)
که این تکرارها در Q است و دارای خواص زیر است:

• • (خاصیت ترمیمی) :

(۲-۲۴)
اگر بزرگتر از یک ثابت مطلق باشد آنگاه رشد مقدار F در گام i ام، حداقل ثابت مطلق دیگری است. به عنوان مثال، اگر آنگاه:

• • [همگرایی درجه دوم] اگر در گام i- ام، باشد آنگاه در ناحیه همگرایی مرتبه دوم روش هستیم، یعنی برای هر داریم:

(۲-۲۵)
(۲-۲۶)
و برای مینیمم مقدار (منحصر به فرد) F (یعنی ) داریم:
(۲-۲۷)
(۲-۲۸)
پ) اگر F از پایین کراندار باشد، آنگاه پیچیدگی نیوتن (یعنی تعداد گام های (۲-۲۳)) یافتن یک نقطه با ، از مقدار زیر تجاوز نمی کند:

و ثابت مطلق است.
عبارات بیان شده اثبات شده اند، الف) در ۹ و خاصیت اول در (ب) در ۶ و خاصیت دوم (ب) در ۱۰ بیان شد و (پ) از دو خاصیت (ب) نتیجه می شود. توجه کنید که خواص همگرایی روش نیوتن تابع خود هماهنگ کاملاً مستقل از هدف است.
فصل ۳
مانع خود هماهنگ
تابع خود هماهنگ برای یک دامنه باز و محدب را معرفی کردیم. حال زیر خانواده خاصی از خانواده موانع خود هماهنگ را بررسی می‌کنیم.
۳-۱ تعریف و ترکیب قواعد
تعریف ۳-۱-۱ : اگرG دامنه^[۲۶] بسته و محدب در باشد و . تابع مانع خود هماهنگ^[۲۷] برای G با پارامتر ϑ نامیده می‌شود (به طور اختصار،ϑ -خود هماهنگ برای G ) اگر:
الف) تابع F روی خود هماهنگ باشد .
ب) به ازای هر و رابطه زیر برقرار باشد:
(۳-۱)
کمیت کاهش نیوتن F در x نامیده می‌شود. این کمیت نقش مهمی در تحقیقات ما از توابع خود هماهنگ ایفا می‌کند. رابطه (۳-۱) به معنای دقیق این است که کاهش نیوتن F باید از بالا کراندار و مستقل از x با ثابت معین باشد و مربع این ثابت، پارامتر مانع نامیده می‌شود.