و را به ترتیب چگالی تراز وابسته به تکانه زاویه­ای برای نوترون­ها وپروتون­ها در نظر می­گیریم بدین ترتیب خواهیم داشت:

(۲-۳۳) اگر راحول بسط دهیم خواهیم داشت:
(۲-۳۴)
که است.
پس بدین ترتیب خواهیم داشت:
(۲-۳۵)
فرم ریاضی تابع تابع گاوسی به صورت زیر است:
(۲-۳۶)
بدین ترتیب در این مورد خواهیم داشت:
(۲-۳۷)
با مقایسه (۲-۳۵) و (۲-۳۷) خواهیم داشت:
(۲-۳۸)
پس با توجه به معادله (۲-۳۲) بدست می­آوریم:
(۲-۳۹)
اکنون ما می­توانیم چگالی تراز دارای تکانه زاویه­ای و انرژی را محاسبه کنیم. هر تراز با تکانه زاویه­ای برابر یا بزرگتر از دارای یک تصویر به اندازه بر روی محور مختصات فضا است. هر تراز با تکانه زاویه­ای برابر یا بزرگتر از دارای یک تصویر به اندازه بر روی محور مختصات فضا است. در نتیجه با تفریق میان تعداد تصاویر برای تکانه زاویه­ای و ، تعداد ترازها برای تکانه زاویه­ای بدست می ­آید:
(۲-۴۰)
با بهره گرفتن از معادله (۲-۳۹) و (۲-۴۰) خواهیم داشت:
(۲-۴۱)
با بهره گرفتن از بسط خواهیم داشت:
(۲-۴۲)
همچنین خواهیم داشت:
(۲-۴۳)
بر اساس مکانیک کوانتوم در هر تراز حالت تبهگن وجود دارد. بدین ترتیب برای چگالی حالات می­توان نوشت:
(۲-۴۴)
با تقسیم روابط (۲-۴۴) و (۲-۴۵) بر یکدیگر خواهیم داشت:
(۲-۴۵)
با توجه به رابطه (۲-۴۲) خواهیم داشت:
(۲-۴۶)
با بهره گرفتن از تغییر متغیر و خواهیم داشت:
(۲-۴۷)
بدین ترتیب معادله چگالی تراز برای سیستمی شامل دو نوع ذره با بهره گرفتن از معادلات (۲-۲۹)، (۲-۴۶) و (۲-۴۷) بدست می ­آید:
(۲-۴۸)
فصل سوم
بر هم کنش زوجیتی
۳-برهم­کنش زوجیتی
۳-۱مقدمه
برای بررسی ویژگی­های هسته باید بر هم کنش میان ذرات را در نظر گرفت. در مدل گاز فرمی از برهم­کنش میان ذرات صرف نظر می­ شود. این مدل، مدلی ساده از هسته است. همچنین در مدل لایه­ای فرض می­ شود ذرات در پتانسیل ثابتی قرار دارند و فقط بخش خاصی از برهم­کنش نوکلئون نوکلئون در نظر گرفته می­ شود ]۹[.
برهم­کنش واقعی میان ذرات را نمی­ توان به وسیله یک پتانسیل ثابت به طور کامل مشخص کرد و هنوز مقداری برهم­کنش باقیمانده^[۱۸] میان ذرات وجود دارد. این برهم­کنش­ها نقش مهمی در ویژگی­های هسته دارد. در مدل BCS این برهم­کنش­های باقیمانده به صورت بر هم کنش زوجیتی^[۱۹] مطرح می­ شود ]۲۶-۲۸[.
مدل BCS در ابتدا توسط باردین، کوپر و شریفر جهت توجیه رفتار ابررساناها به وجود آمد. یک ابر رسانا دارای الکترون­های آزادی است که در حالت عادی بنا بر نیروی دافعه الکتریکی یکدیگر را دفع می­ کنند. اما در شرایطی که در دماهای پایین بوجود می ­آید، با عبور یک الکترون از یک نقطه شبکه فلز اغتشاشی در شبکه بوجود می ­آید که در شبکه توسط فونونها منتقل می­ شود و به تمرکز چگالی بارهای مثبت شبکه فلز می­انجامد. این چگالی بار مثبت می تواند منجر به جذب الکترون دیگری از میان الکترونهای دریای الکترونی اولیه شود. جهت کاستن از شدت نیروی دافعه الکتریکی، دوالکترون مورد بحث بایستی از هم دور شوند و یا به عبارتی بهتر در حالتهای برگشت زمانی^[۲۰] تکانه و باشند. بنابراین این جفت الکترون در فضای تکانه و نه فضای مکان تشکیل یک جفت می­ دهند ]۲۹[
با توجه به گرایشی که نوکلئون های هسته به زوج شدن در حالتی با تکانه زاویه­ای کل صفر دارند]۳۰و۳۱[، استفاده از این مدل (که قابل استفاده در هر سیستم فرمیونی تمیز ناپذیر با پتانسیل جاذب زوجیت است) در هسته قابل قبول می­نماید.
۳-۲ مبانی مکانیک کوانتومی
در مکانیک کوانتومی ذرات مشابه تمیزناپذیرند. اصل تمیزناپذیری ذرات مشابه، یکی از اصول موضوعه مکانیک کوانتوم است. چون ذرات تمیزناپذیرند، هر مجموعه کامل از عملگرهای دینامیکی که رفتار یک ذره را توصیف می­ کند را می­توان برای ذره تمیزناپذیر نیز به کار برد حتی اگر میان ذرات برهم­کنش وجود داشته باشد ]۳۲[.
کوانتوم مکانیک بیان می­ کند که با توجه به تمیز ناپذیری ذرات بیان اینکه کدام ذره کدام حالت را اشغال کرده است بی معنی است، بنابراین یک توصیف مناسب نبایستی بطور صریح سخنی از قرار دادن هر یک از ذرات در حالت خاصی بگوید. تنها اطلاعات معنا دار عبارت خواهد بود از اینکه چند ذره در حالت کوانتومی قرار دارد. تعداد ذرات در هر حالت را با عدد اشغال نمایش می­دهیم. با بهره گرفتن از روش کوانتش دوم^[۲۱] می توان تابع موج سیستم را به صورت خلاصه در نمایش عدد اشغال به صورت زیر نمایش داد ]۳۲[:
(۳-۱)
هر کدام از اعداد اشغال می تواند مقادیر ۰ یا ۱ را در حالت فرمیونی و را درحالت بوزونی اختیار کند.
با بهره گرفتن از معادله (۳-۱) حالت تهی و تک ذره­ای را به صورت زیر معرفی می­کنیم:
(۳-۲)
(۳-۳)
عملگرهای خلق و نابودی که عملگرهای آشنا در مکانیک کوانتوم هستند به صورت زیر نمایش داده می­شوند: