اگررا به عنوان عنصر همانی در نظر بگیریم، عنصر همانی می‌شود.
همچنین به این دلیل که یک ریخت گروه‌واری است، قانون تناوبی زیر برقرار می‌باشد:
تعریف ۴-۴٫ ریخت گروه-گروه‌وار
فرض کنیم و دو گروه-گروه‌وار توپولوژیکی باشند. یک ریخت از گروه-گروه‌وارهای توپولوژیکی، یک ریخت از گروه‌وارهای توپولوژیکی است که ساختار گروه توپولوژیکی را نیز حفظ می‌کند یعنی.
مثال ۴-۵٫ فرض کنیمیک گروه باشد. نشان می‌دهیم یک گروه-گروه‌وار است. چون یک گروه است و هر گروه خود یک گروه‌وار است پس یک گروه‌وار می‌باشد. همچنین در فصل ۲ نشان دادیم که یک گروه‌وار روی است، پس به طور مشابه نیز یک گروه‌وار روی می‌باشد.
از آنجا کهیک گروه است، نیز یک گروه است با نگاشت‌های گروهی که از نگاشت‌های گروهیبه دست می‌آیند، به این‌صورت ‌که ، عنصر یکه ، است جایی‌که عنصر یکهمی‌باشد و معکوس ، است جایی‌که معکوس و معکوس در می‌باشند.
نشان می‌دهیم نگاشت‌های ساختار گروهی ،ریخت‌های گروه‌واری هستند.
و
قانون تناوبی نیز برقرار است:
بنابراین یک گروه-گروه‌وار می‌باشد.

( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

نتیجه ۴-۶٫ فرض کنید یک گروه-گروه‌وار باشد. آن‌گاه نگاشت‌های منبع، هدف، شیء و معکوس، ریخت‌های گروهی هستند.
برهان. می‌دانیم و گروه می‌باشند.
۱- نشان می‌دهیم .
چون یک ریخت گروه‌واری است، داریم:
نمودار۹٫
۲- نشان می‌دهیم .
۳- نشان می‌دهیم .
طبق گزاره ۲-۱۳، چون یک ریخت گروه‌واری است، داریم:
نشان می‌دهیم.
گزاره۴-۷٫
۱- فرض کنید یک گروه-گروه‌وار باشد. آن‌گاه مجموعه‌ی همانی‌های ، یک زیرگروه-گروه‌وار عریض از است.
۲- فرض کنیدیک خانواده از گروه-گروه‌وارهای توپولوژیکی باشد. آن‌گاه ضرب یک گروه-گروه‌وار توپولوژیکی است.
برهان. قسمت۱–
ابتدا ثابت می‌کنیم یک گروه‌وار روی است.
داریم و . بنابراین نگاشت‌ها را به‌صورت زیر تعریف می‌کنیم.
نگاشت‌های منبع و هدف
نگاشت شیء
نگاشت معکوس
جایی‌که وارون در باشد.
نگاشت ترکیب
جایی‌که.
بنابراین داریم:
۱-،و.
۲- برای هر،.
۳- برای هر، داریم:
در نتیجه.
پس یک زیرگروه‌وار عریض از می‌باشد. حال نشان می‌دهیم دارای ساختار گروه می‌باشد.
فرض کنید ، چون گروه است، برای هر داریم ، وچون نگاشت شیء،یک ریخت گروهی است، داریم:
پس یک زیرگروه ازمی‌باشد.
چون نگاشت‌های ساختار گروهی ، ریخت‌های گروهی هستند، بنابراین با تحدید نگاشت‌های ساختار گروهی به ، نگاشت‌های ساختار گروهی نیز ریخت‌های گروه‌واری می‌باشند.
درنتیجه یک زیرگروه-گروه‌وار عریض از می‌باشد.
برهان قسمت۲-
ابتدا نشان می‌دهیمیک گروه-گروه‌وار است.
اشیاء ، برای هر ، مجموعه‌ی همه‌ی است و ریخت‌های ، برای هر، مجموعه‌ی همه‌ی می‌باشد. بنابراین عمل گروه را رویبه صورت زیر تعریف می‌کنیم:
برای هر و ، داریم:
و