از آنجاکه، روش برآورد توانایی آزمودنی‌ها در آزمون انطباقی ریاضی در این پژوهش، روش بیشینه‌ی درست نمایی بود، در این روش، تا زمانی‌که آزمودنی پاسخ صحیح یا غلط به سؤالات نداده است (یعنی، نمره‌ی ۱ یا ۰ دردسترس نباشد)، برآورد بیشینه‌ی درست نمایی تعیین نمی‌شود، بنابراین تا زمانی‌که هیچ پاسخ صحیح یا غلطی در الگوی پاسخ آزمودنی‌ها مشاهده نشده بود، به شیوه‌ی زیر عمل شد:

( اینجا فقط تکه ای از متن فایل پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

چون ( ) واقعی اولیه‌ی آزمودنی در شبیه‌سازی معلوم بود، ( ) بعد از هر سؤالی که برای آزمودنی اجرا شد، قابل محاسبه بود. بنابراین، چون در ابتدا در الگوی پاسخ، نمره‌‎ی ۰ یا ۱ موجود نبود، به این نحو عمل شد، ابتدا عدد تصادفی ( ) از یک توزیع یکنواخت ( ) استخراج شد و با مقدار ( ) بدست آمده مقایسه شد. اگر ( ) برابر با یا کمتر از ( ) بود، بنابراین، پاسخ برابر با عدد ۱ می‌شد، در غیر این‌صورت، پاسخ برابر با صفر در نظر گرفته ‌می‌شد (ریکیسی، ۲۰۰۳؛ ۲۰۰۷؛ ۲۰۰۹؛ ۲۰۱۰) مقدار ( ) بر اساس معادله‌ی (۳-۳) بدست می‌آید:
(۳-۳)

اگر

پس از پاسخ اول که بر طبق ساختار بالا، آزمودنی نمره‌ی ۰ یا ۱ گرفت، چون هنوز پاسخ صحیح یا غلط دیگری در الگوی پاسخ مشاهده نمی‌شد، برآورد بیشینه‌ی درست نمایی نامتناهی بود و تعیین نمی‌شد. بنابراین در این روش اگر پاسخ اول آزمودنی صحیح بود به برآورد جدید ( ) ۷۰/۰ اضافه می‌شد و اگر غلط بود، ۷۰/۰ از برآورد جدید ( ) کم می‌شد بنابراین، در سؤال بعدی پارامتر ( ) بود، تا میزان آگاهی سؤال را بیشینه کند، پارامتر b سؤال بعدی بر اساس پاسخ سؤال قبل باید برابر با دو مقدار یا فرض می‌شد. بنابراین، بعد از زمانی‌که در الگوی پاسخ، یک پاسخ صحیح یا غلط مشاهده شد از برآورد بیشینه‌ی درست نمایی برای برآورد توانایی استفاده شد.
گام پنجم: “اصلاح پس از شبیه‌سازی^[۲۱۳]“
۱ تکرار برای هر ترکیبی از روش‌ها و متغیرهای کنترل انجام شد، تا جایی که برآورد نسبتاً ثابتی از خزانه سؤال بهینه به‌دست‌آید. پیش از اصلاح پس از شبیه‌سازی، الگوها و تعداد مواجهه‌ سؤال در ۱۰ تکرار میانگین‌گیری شد.
نمودار ۳-۱، مراحل شبیه‌سازی CAT عملیاتی را به تصویر می‌کشد.
عناصر مورد نیاز برای طراحی یک خزانه‌ی سؤال بهینه
در این قسمت لازم است که عناصر مهم مورد نیاز برای طراحی یک خزانه‌ی سؤال بهینه، براساس رویکرد اکتشافی که مبتنی بر روش bin-and-union می‌باشد، ارائه ‌شوند.
تعریف bin-map
بر اساس بحث بالا و تعریف خزانه‌ی سؤال بهینه، مولفه‌ی اساسی در رویکرد ریکیسی، ایجاد مجموعه‌هایی از “”binها برای جمع‌ آوری و شمردن سؤالات است. در این پژوهش مفهوم “”bin از مدل یک پارامتری، به مدل دو و سه پارامتری تعمیم داده شد. ولی، به منظور ایجاد درکی صحیح از مفهوم “”bin، در این فصل ابتدا این مفهوم در مورد مدل راش بسط داده می‌شود، تا درک آن در مدل‌های دو و سه پارامتری قابل مفهوم‌تر شود. سپس مفهوم آن در مدل سه پارامتری شرح داده می‌شود.
از آنجاکه، در مدل راش تنها فاصله پارامتر b و ( ) در انتخاب سؤال اهمیت دارد. از نظر تئوریکی سؤالی با مقدار b کاملاً برابر با برآورد جدید ( ) می‌تواند بالاترین مقدار آگاهی سؤال را ایجاد کند. به عبارت دیگر، مقدار b بهینه باید کاملاً برابر با توانایی جدید ( ) باشد. با این‌وجود، همچنان‌که، نمودار ۳-۲ نشان می‌دهد، تفاوت ناچیز بین b و ، کاهش بسیار کمی در میزان آگاهی سؤال ایجاد می‌کند (ریکیسی، ۲۰۰۷؛ ۲۰۱۰؛ هی و ریکیسی، ۲۰۱۰). از آنجاکه، این مفهوم پایه و اساس شکل‌گیری این روش می‌باشد، در قسمت زیر به صورت مفصل‌تری آن را توضیح می‌دهیم و دلیل پیدایش دو روش p-optimality و r-optimality شرح داده خواهد شد.
روش “bin-and-union” و خزانه‌ی سؤال p-optimality و r-optimality
خزانه‌ی سؤال لیستی از پارامترهای سؤال و ویژگی‌های آن را برای هر یک از سؤالات خزانه توصیف می‌کند. برای ایجاد یک خزانه‌ی سؤال بهینه‌ای که ساخت آن از لحاظ عملی ممکن باشد، رویکرد اکتشافی ریکیسی روشی را ایجاد می‌کند، مبنی بر اینکه، برای ساخت چنین خزانه‌ی سؤالی بسته به مدلی که سؤالات در آن مدرج می‌شوند، باید تفاوت‌های موجود در ویژگی‌های سؤالاتی که مشابه‌اند ولی کاملاً یکسان نیستند را درنظر گرفت. به عبارت‌دیگر، میزان آگاهی بدست آمده از برآورد جایگاه آزمودنی روی صفت مکنون که توسط سؤالی که دقیقاً با برآورد جدید مطابقت دارد، و آگاهی سؤالی که پارامتر b آن به مقدار خیلی کوچکی ( ) از مقدار بهینه‌ی b متفاوت است، چه میزان تفاوت ایجاد می‌کند؟. یک راه این است که میزان تفاوت در مقدار آگاهی بدست آمده از سؤال موقعیت اول و سؤال موقعیت دوم تعیین شود (ریکیسی، ۲۰۰۷). نمودار ۳-۲، تابع آگاهی یک سؤالی که دقیقاً بر اساس مدل راش مدرج شده را نشان می‌دهد. مقیاس افقی ( ) می‌باشد، این محور به شکلی رسم شده است که به تمام مقادیر ( ) تعمیم داده شود. در مدل راش زمانی‌که، باشد، یعنی، ( ) باشد، مقدار آگاهی در مقدار بیشینه خود قرار می‌گیرد و ۱۰۰% بیشینه‌ی آگاهی ایجاد می‌شود. با این‌وجود، از دیدگاه طراحی بهینه خزانه‌ی سؤال، اگر سؤالی که برای انتخاب در دسترس می‌باشد، میزان آگاهی را به جای ۱۰۰% بیشینگی، در مقادیر کمتر از ۱۰۰% بیشینگی فراهم کند، باز هم از لحاظ بهینه بودن، مورد قبول خواهد بود. خط افقی در نمودار ۳-۲ این سطح از آگاهی مورد نیاز را نشان می‌دهد. در این ایده یا مقدار p مورد نیاز برای آگاهی به کار برده می‌شود و یا میزان فاصله‌ی ( )، که به آن r یا (range) می‌گویند. به همین خاطر، اگر برای مثال، فاصله‌ی ( ) برابر با ۴/۰ باشد، بیشینگی تقریباً حدود ۹۶%-optimality قرار می‌گیرد، بنابراین به آن، خزانه‌ی سؤال۹۶%-optimality می‌گویند. حال هرچه این مقدار p به ۱ نزدیک شود، دامنه‌ای که سؤالات مشابه در آن قرار می‌گیرند، باریک‌تر می‌شود. این بدان معناست که، دامنه‌ی روی مقیاس پارامتر b می‌تواند در حدود ۴/۰ با برآورد جدید( ) فاصله داشته‌باشند. یعنی پهنای این فاصله ۴/۰ باشد. به این پهنا یک “bin” ، گفته ‌می‌شود. این روش به مقادیر متفاوت دیگر (p) p-optimal و ® r-optimal قابل تعمیم است (ریکیسی، ۲۰۱۰).
مفهوم “bin”، در این رویکرد به منظور محاسبه‌ی فراوانی سؤالاتی با پارامترهای مشابه مطرح شد. یک “bin”، یک مخزن سؤال است، که حدود آن براساس صفات کمّی یا عددی سؤالات (پارامترها) مشخص می‌شود، و تعداد سؤالاتی که درون یک “bin” هستند، صفات مشابهی دارند و می‌توانند به جای یکدیگر استفاده شوند. اگر سؤالات بر اساس مدل راش مدرج شوند، در انتخاب سؤالات تنها پارامتر دشواری (پارامتر b) اثر دارد. بنابراین، “bin” ها به صورت دامنه‌هایی روی مقیاس ، تعریف می‌شود. برای مثال، دو “bin” متوالی با پهنای ۴/۰ روی مقیاس به صورت روبرو؛ (۴/۰: ۰) و (۸/۰: ۴/۰) نوشته ‌می‌شود. سؤالاتی با پارامترهای b برابر با ۱۱/۰ و ۱۵/۰ در انتخاب سؤال در برنامه‌ی CAT می‌توانند به جای یکدیگر انتخاب شوند، زیرا آنها به متعلق می‌باشند. بنابراین، الگوی طرح خزانه‌ی سؤال به لیستی از “bin” هایی با سؤالاتی با ویژگی‌های مشابه، تبدیل می‌شود (گو ، ۲۰۰۷).
پهنای “bin” هایی که یک خزانه‌ی سؤال را تعریف می‌کنند، باید به‌اندازه‌ی کافی کوچک باشند، تا جایی‌که همه‌ی سؤالات به یک اندازه برای برآورد سطح توانایی آزمودنی مناسب باشند. حال اگر پهنای “bin” خیلی بزرگ باشد، سؤالاتی که در یک “bin” قرار می‌گیرند، ممکن است از میزان متفاوتی سودمندی در برآورد سطح توانایی برخوردار باشند. دیدگاهی که برای تعیین پهنای “bin” در این روش وجود دارد، عبارت است از، تعیین دامنه‌ای روی مقیاس برای سؤالی که تابع آگاهی‌اش بیشینه است و دامنه‌ی اطراف نقطه بیشینه خیلی پایین نباشد. “خیلی پایین نبودن^[۲۱۴]” اغلب به‌طور اختیاری به‌عنوان %۹۸ بیشینگی تعریف می‌شود. به‌طور یقین، در این استدلال مقدار %۹۶ یا %۹۷ هم می‌تواند مناسب باشد (گو و ریکیسی، ۲۰۰۷).
شرح مفهوم “bin” در مدل سه پارامتری
تحت مدل سه پارامتری لوجستیک، مقدار بیشینه‌ی آگاهی یک سؤال از طریق سه پارامتر تعیین می‌شود. یک سؤال با ضریب تشخیص بالا (مقدار a بالا) آگاهی بیشتری نسبت به سؤالی با ضریب تشخیص پایین ایجاد می‌کند. با این وجود، چانگ و یینگ (۱۹۹۹)، نشان دادند که، زمانی‌که برآورد ( ) از توانایی واقعی آزمودنی ( ) فاصله دارد، میزان آگاهی کمتری در سطح ایجاد می‌شود. یک سؤال با پارامتر c کوچکتر، آگاهی بیشتری در سطح بیشینه‌اش ایجاد می‌کند. امّا معمولاً در خزانه‌ی سؤالی که خوب طراحی شده، پارامترهای c سؤالات تغییرپذیری خیلی کمی دارند، به‌طوری‌که، عامل پارامتر c تاثیر کمی روی میزان آگاهی به‌دست آمده از سؤالات می‌گذارد. بنابراین پارامتر a و b دو عامل اولیه‌ای هستند که روی میزان آگاهی یک سؤال تاثیر می‌گذارند. سؤالاتی که توابع آگاهی مشابهی دارند، دارای پارامترهای a و b مشابهی هستند. این قاعده به ایجاد مفهوم “bin” در شبیه‌سازی خزانه‌ی سؤال منتهی می‌شود. مفهوم “bin” در مدل یک پارامتری به عنوان فواصلی از مقادیر پارامتر b که در آن فواصل، سؤالات مقادیر مشابهی آگاهی در طول دامنه‌ای از سطوح ایجاد می‌کند. ولی در مدل سه پارامتری، محدوده‌ی “bin” از طریق پارامتر a و b تعیین می‌شود. این “bin” ها از یک طرح پارتیشن‌بندی شده‌ی مشبک بر اساس مقادیر a و b تشکیل می‌شود. همان‌طور که در نمودار ۳-۳ نشان داده‌ شده است، هر خانه‌ی مشبک بر اساس دامنه‌ای از پارامترهای a و b مشخص می‌شود، و به عنوان ab-bin نشان داده‌ می‌شود. کل کناری در سرتاسر هر ردیف به صورت a-bin و کل کناری در سرتاسر هر ستون به صورت b-bin مشخص می‌شود. سؤالاتی که درون هر خانه قرار می‌گیرند، به‌وسیله‌ی پارامترهای a و b مشخص می‌شوند و آگاهی مشابهی در کل دامنه‌ی دارند و بیشینه‌ی آگاهی آن در اطراف سطح محدوده‌ی bin می‌باشد که سؤالات در آن قرار می‌گیرند. درصورتی‌که، محدوده‌های b-bin از طریق تقسیم محور (یا محور پارامتر b)، به فواصل برابر، بدست می‌آید، پهنای محدوده‌های a-bin به‌گونه‌ی متفاوتی تقسیم‌بندی می‌شود، زیرا مقدار بیشینه‌ی آگاهی یک سؤال با فرض اینکه پارامتر c ثابت است، متناسب با تابع درجه دوم پارامترهای a می‌باشد. به عبارت دیگر، لرد (۱۹۸۰)، اثبات کرد که، بالاترین میزان آگاهی که یک سؤال لوجستیک با و می‌تواند ایجاد کند، با فرض اینکه پارامتر c ثابت باشد، تابع درجه دومی از پارامتر a می‌باشد. بنابراین، رابطه‌ی بین بیشینه‌ی آگاهی که یک سؤال می‌تواند فراهم کند و پارامتر a، در معادله‌ی (۳-۴) نشان داده می‌شود؛ در اصل، معادله‌ی (۳-۴) رابطه‌ی بین پارامتر a و بیشینه‌ی آگاهی‌ای که یک سؤال ایجاد می‌کند، را نشان می‌دهد (لرد، ۱۹۸۰).
(۳-۴)
معادله‌ی (۳-۵) می‌تواند تغییرات بین تابع بیشینه‌ی آگاهی برای سؤالاتی با پارامترهای a متفاوت را بیشتر نشان ‌دهد:
(۳-۵)
با بهره گرفتن از میانگین پارامتر c سؤالات موجود، که حدود ۲۵/۰ می‌باشد، قسمت ثابت اول معادله برابر با ۴۴۷/۰ به‌دست می‌آید، بنابراین:

بنابراین، حدود a-bin را که در آن تغییرات پارامترهای a باعث تغییر اندکی در میزان آگاهی می‌شود را می‌توان محاسبه کرد. البته از آنجا‌که، پارامتر a، به‌طور قراردادی، از صفر بیشتر است، با توجه به مقدار مورد انتظار تغییر آگاهی، می‌توانیم حدود پارامتر a را گام به گام محاسبه کنیم. نمودار ۳-۳، طرح یا نقشه‌ی bin که براساس یک تغییر ۴/۰ در میزان آگاهی سؤال، زمانی‌که دامنه‌ی b برابر با ۴/۰ و c برابر با ۲۵/۰ است را نشان می‌دهد. به زبان ساده‌تر، یک ab-bin از طریق حدود پارامتر b و a به صورت روبرو نشان داده ‌می‌شود: . برای مثال، سؤالاتی با پارامترهای a بین ۸۹/۰ و ۲۶/۱ و پارامترهای b بین ۰ و ۴/۰ در ab-bin برابر با می‌باشند. هنگام انتخاب سؤالاتی که داخل یک bin مانند bin بالا قرار می‌گیرند، می‌توان آنها را به جای یکدیگر انتخاب کرد. خزانه‌ی سؤالی که به‌طور بهینه طراحی شده ‌است، باید دارای تعداد کافی سؤال در هر b-bin باشد، و این اطمینان را ایجاد کند سؤالاتی با پارامترهای a به اندازه کافی بالا، در دسترس می‌باشد. به‌عبارت‌دیگر، b-bin ها تعداد سؤالات مورد نیاز که در طول سطوح در محدوده‌ی b-bin خوب عمل ‌می‌کند را محاسبه کند. درون هر b-bin ، a-bin حداکثر تعداد سؤالات با ضریب تشخیص بالا را محاسبه می‌کند. شبیه‌سازی خزانه‌ی سؤال، آرایه‌ای از اعداد صحیح که به ما می‌گوید چه تعداد سؤال در هر b-bin مورد نیاز است و ماتریس که هر عنصر ، بردار صحیح می‌باشد که نشان می‌دهد حداکثر چه تعداد سؤال در هر ab-bin درون یک b-bin مورد نیاز است. در هر دو مورد B تعداد b-bin و A تعداد ab-bin درون هر b-bin می‌باشد. دلیل اینکه چرا آنها در دو ماتریس متفاوت نوشته‌ می‌شوند این است که در مرحله‌ی اولیه‌ی طراحی خزانه‌ی سؤال معمولاً مشابه با مجموع نیست. بعد از شبیه‌سازی CAT، ها در اثر ab-bin هایی با پایین‌ترین ضریب تشخیص، برابر با صفر قرار می‌گیرند. تا جایی که می‌شود و تنها سؤالاتی با بالاترین ضریب تشخیص مورد نیاز برای شبیه‌سازی، در الگو و طرح خزانه‌ی سؤال بهینه قرار می‌گیرند (گو و ریکیسی، ۲۰۰۷).
ایجاد سؤالات بهینه در مدل سه پارامتری برای CAT
کیفیت سؤالاتی که در یک خزانه‌ی سؤال قرار دارد، تعیین کننده‌ی مهمی برای موفقیت برنامه‌ی سنجش انطباقی کامپیوتری (CAT) می‌باشد. در این پژوهش برای ایجاد سؤالات بهینه در رویکرد اکتشافی از روش‌هایی برای شبیه‌سازی پارامترهای سؤال استفاده شد. این سه روش براساس ایده‌های گو (۲۰۰۷)، مک برید و وایس (۱۹۷۶)، برای ایجاد خصوصیات بهینه‌ی سؤال در مدل سه پارامتری بوجود آمد. که در این پژوهش با اندکی تغییر در روش‌های ایجاد سؤال پیشین، از سه روش استفاده شد. روش اول، روش تصادفی ®، نامیده می‌شود، روش دوم، روش آمیخته‌ی تصادفی و پیش‌بینی (MRP) نامیده می‌شود و روش سوم، روش کمینه‌ی آگاهی تست (MTI) می‌باشد.
ایجاد پارامترهای سؤال در طول فرایند شبیه‌سازی خزانه‌ی سؤال
به‌منظور این‌که، ویژگی‌های بهینه‌ی سؤال، برای یک برنامه‌ی CAT عملیاتی هدف از لحاظ کاربردی مفید و واقع‌بینانه باشد، اطلاعات پیشین برای شبیه‌سازی، وارد تجزیه و تحلیل شدند. اطلاعات پیشین شامل، توزیع‌های پارامترهای سؤالات عملیاتی، رابطه‌ی بین پارامترهای سؤال، اعتبار^[۲۱۵] تست، و برآوردهای توانایی آزمودنی‌ها می‌باشد. بر این اساس، در این پژوهش، در آزمون تک محتوایی تحلیل بر روی ۴۵۵ سؤال موجود در خزانه‌ی سؤال CAT عملیاتی صورت گرفت. و در آزمون CAT با تعادل محتوایی تحلیل بر روی ۹۲۱ سؤال موجود در خزانه‌ی کلی صورت گرفت.
اطلاعات مربوط به CAT تک محتوایی
نتایج تحلیل بر روی ۴۵۵ سؤال درس حسابان- دیفرانسیل، نشان داد که در کل بین پارامترهای a و b سؤالات عملیاتی هیچ نوع همبستگی معنادار آماری دیده نشد، توزیع پارامتر a ، نرمال با میانگین ۰۸۹۳/۱ و انحراف استاندارد ۲۷۴۵/۰ بود. نرمال بودن این توزیع از طریق آزمون کالموگروف-اسمیرنف^[۲۱۶] با مورد تایید قرار گرفت. همچنین، پارامتر c از توزیع بتا^[۲۱۷] پیروی کرد. این توزیع بهتر از توزیع‌های دیگر پارامتر c را توصیف می‌کرد. برای این‌که الگوی رابطه‌ی پارامترهای a و b در سؤالات خزانه‌ی عملیاتی به صورت دقیق‌تری مشخص شود، ابتدا، همه‌ی سؤالات بر اساس مقادیر پارامتر b شان به سه گروه تقسیم‌بندی شدند (گروه اول؛ ۴- تا ۷۲۰۴/۱-، گروه دوم؛ ۷۲۰۴/۱- تا ۷۲۰۴/۱ و گروه سوم؛ ۷۲۰۴/۱ تا ۴). سپس، همبستگی بین پارامترهای a و b برای هر سه گروه با بهره گرفتن از نرم‌افزار SPSS-16 محاسبه شد. نتایج نشان داد که، تنها در گروه سوم سؤالات، یعنی، گروهی که پارامتر b آنها بالا است (سؤالاتی با مقادیر بالاتر از ۷۲۰۴/۱) بین پارامترهای a و b از لحاظ آماری همبستگی معناداری وجود داشت. بنابراین، در این گروه یک رگرسیون ساده برای پیش‌بینی a توسط b محاسبه شد. معادله‌ی رگرسیون برابر با بود. که یک عنصر تصادفی‌ای بود که از توزیع نرمال ) پیروی می‌کرد. در این توزیع از طریق فرمول زیر که بر اساس ایده‌ی مک‌برد و وایس (۱۹۷۶) ایجاد شد، محاسبه شد: .
روش تصادفی ®
در موقعیتی از آزمون CAT عملیاتی که در آن پارامترهای a و b از لحاظ آماری با یکدیگر همبستگی نداشتند و مستقل از یکدیگر بودند، به‌کار رفت. برای ایجاد یک سؤال بهینه، با بهره گرفتن از روش R، گام‌های زیر دنبال شد:
برای یک سؤال خاص،
پارامتر و از طریق توزیع‌های هدف مخصوص‌شان (خزانه‌ی سؤال عملیاتی) ایجاد شد. در این پژوهش، توزیع با توجه به توزیع سؤالات در خزانه‌ی عملیاتی از توزیع نرمال و توزیع پارامتر c از توزیع بتا پیروی کرد.
باتوجه به اینکه هم وهم معلوم بودند، با بهره گرفتن از معادله (۳-۷) محاسبه شد، درصورتی‌که برآورد جدید توانایی ‌باشد، بر اساس معادله‌ی (۳-۷):.
(۳-۶)
در نتیجه
(۳-۷)
روش آمیخته‌ی تصادفی و پیش‌بینی (MRP)
همان‌طور که نام این روش نیز اشاره می‌کند، MRP، یک روش آمیخته‌ است. قسمت روش تصادفی R آن که در بالا توصیف شد. قسمت روش پیش‌بینی (P)، در اصل، عقیده‌ی مک‌برید و وایس (۱۹۷۶)، را دنبال می‌کند، که در این شیوه، خزانه‌ی سؤال “کاملی” به همراه پارامترهای سؤال بهینه براساس رگرسیون پارامترهای روی پارامترهای ، شبیه‌سازی می‌شود. روش P براین واقعیت استوار است که، پارامترهای a و b به‌طور معناداری با‌ یکدیگر همبسته‌اند (چانگ و وندرلیندن، ۲۰۰۳؛ وندرلیندن، اسکرامز و اسچنیپکا، ۱۹۹۹). به‌علاوه، واریانس پارامتر a با افزایش پارامتر b، افزایش می‌یابد، که این مشخص می‌کند که با بهره گرفتن از تبدیلات لگاریتمی، پارامترهای a به‌طور خطی با پارامترهای b مرتبط می‌شوند (گو و ریکیسی، ۲۰۰۷). برای مدل یابی کردن این روابط، پارامتر a برای یک سؤال شبیه‌سازی شده برابر با تابع رگرسیونی تبدیل لگاریتمی پارامتر a روی پارامتر b می‌باشد (ریکیسی، ۲۰۰۴). که دارای توزیع نرمال می‌باشد. با اضافه‌ کردن یک عبارت خطا در تابع رگرسیونی، پراکندگی در پارامترهای a در روش برآورد خزانه‌ی سؤال، به‌وجود می‌آید.
(۳-۸)
(۳-۹)
برای ایجاد یک سؤال بهینه با بهره گرفتن از رویکرد MRP مراحل زیر دنبال شد:
برای هر سؤال، اگر مقدار آن، که می‌توانست بوسیله‌ی در هر مرحله از اجرای آزمون تقریب زده شود، پایین‌تر از ۷۲۰۴/۱ بود، یعنی جزء گروه‌هایی که در آن همبستگی معناداری بین پارامتر a و b وجود نداشت، بود، برای ایجاد ویژگی‌های سؤال بهینه از روش R که در بالا توصیف شد، استفاده می‌شد. در غیر این‌صورت، اگر مقدار برابر یا بالاتر از ۷۲۰۴/۱ بود، یعنی، برای گروهی که همبستگی معناداری بین پارامتر a و b وجود داشت، روش‌های زیر به‌کار رفت:
پارامتر از طریق توزیع هدف، یعنی توزیع بتا ایجاد شد.
پارامتر از طریق ، که می‌توانست در هر گام انتخاب سؤال از طریق بدست آید و از توزیع نرمال ( ) پیروی می‌کرد، ایجاد شد.
پارامتر دوباره از طریق معادله‌ی (۳-۷) محاسبه شد.
روش حداقل آگاهی آزمون (MTI)