اگر نمونه­های ورودی مطابق شکل فوق باشند مشخص است که می توان داده ­ها را به دو خوشه تقسیم کرد. اما مشکلی که پیش میآید این است که داده­ی مشخص شده در وسط می ­تواند عضو هر دو خوشه باشد. بنابراین، باید تصمیم گرفت که داده­ی مورد نظر متعلق به کدام خوشه است؛ خوشه­ی سمت راست یا خوشه­ی سمت چپ. اما اگر از خوشه بندی فازی استفاده کنیم، داده­ی مورد نظر با تعلق ۰٫۵ عضو خوشه­ی سمت راست و با تعلق مشابه عضو خوشه­ی سمت چپ است. تفاوت دیگر در این است که مثلاً نمونه های ورودی در سمت راست شکل می توانند با یک درجه تعلق خیلی کم عضو خوشه­ی سمت چپ نیز باشند که همین موضوع برای نمونه های سمت چپ نیز صادق است.

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

زمانی که در سال ۱۹۶۵ پروفسور لطفی‌زاده، استاد ایرانی‌الاصل دانشگاه برکلی، اولین مقاله خود را در زمینه­ فازی تحت عنوان مجموعه‌های فازی منتشر کرد، هیچ کس باور نداشت که این جرقه‌ای خواهد بود که دنیای ریاضیات را به طور کلی تغییر دهد.
یکی از مهم­ترین و پرکاربردترین الگوریتم­های خوشه­بندی فازی، الگوریتم c میانگین می­باشد[۳۵]. در این الگوریتم نمونه­ها به c خوشه تقسیم می­شوند به گونه ­ای که تعداد c از قبل مشخص شده باشد. در نسخه فازی این الگوریتم نیز تعداد خوشه ­ها © از قبل مشخص شده است. در الگوریتم خوشه بندی c میانگین فازی تابع هدف بصورت زیر می باشد:
(۲-۸)
در فرمول فوق m یک عدد حقیقی بزرگتر از ۱ است که در اکثر موراد برای m عدد ۲ انتخاب می­ شود. اگر در فرمول فوق m را برابر ۱ قرار دهیم تابع هدف خوشه­بندی c میانگین (کلاسیک) غیرفازی به­دست می ­آید. در فرمول فوق نمونه ام و نماینده یا مرکز خوشه ام و تعداد نمونـه­ها می­باشد. میـزان تعلق نمونه ام در خوشه ام را نشان می دهد. علامت ||*|| میزان تشابه (فاصله) نمونه با (از) مرکز خوشه می­باشد که می­توان از هر تابعی که بیانگر تشابه نمونه و مرکز خوشه باشد، استفاده کرد. از روی می­توان یک ماتریس تعریف کرد که دارای سطر و ستون می­باشد و مؤلفه­ های آن هر مقداری بین صفر تا ۱ را می­توانند اختیار کنند. اگر تمامی مؤلفه­ های ماتریس به ­صورت صفر و ۱ باشند، الگوریتم مشابه c میانگین کلاسیک خواهد بود. با این­که مؤلفه های ماتریس می توانند هر مقداری بین صفر تا ۱ را اختیار کنند، اما مجموع مؤلفه­ های هر یک از ستون­ها باید برابر ۱ باشد و داریم:
(۲-۹)
این شرط به این معنا است که مجموع تعلق هر نمونه به c خوشه باید برابر ۱ باشد. برای به­دست آوردن فرمول­های مربوط به و باید تابع هدف تعریف شده، حداقل گردد. با بهره گرفتن از شرط فوق و برابر صفر قرار دادن مشتق تابع هدف خواهیم داشت:
(۲-۱۰)
(۲-۱۱)
با اسـتفاده از دو فرمول فوق، مراحل انجام الگوریتم خوشـه­بندی c میانگین فازی بصورت زیر می باشد:
مرحله­ اول: مقدار دهی اولیه برایc، m و U، با توجه به قید ۲-۹٫
مرحله­ دوم: مراکز خوشه ها با بهره گرفتن از فرمول ۲-۱۰ محاسبه شوند.
مرحله­ سوم: محاسبه­ی تابع هدف با توجه به فرمول ۲-۸٫ در صورتی­که از مقدار آستانه­ای کوچک­تر است، الگوریتم خاتمه یابد در غیر این­صورت برو به مرحله­ دوم.
مرحله­ چهارم: محاسبه­ی مقدار جدید با بهره گرفتن از فرمول ۲-۱۱٫
برای مشاهده­ عملکرد خوشه­بندی فازی به مثال زیر توجه کنید. در شکل ۲-۶ یک توزیع یک بعدی از نمونه­های ورودی آورده شده است.

شکل ۲-۶ توزیع یک بعدی نمونه ها.
اگر از الگوریتم c میانگین کلاسیک استفاده کنیم داده ­های فوق به دو خوشه­ی مجزا تقسیم خواهند شد و هر نمونه تنها متعلق به یکی از خوشه ­ها خواهد بود. به­عبارت دیگر، تابع تعلق هر نمونه مقدار صفر یا ۱ خواهد داشت. نتیجه­ خوشه بندی کلاسیک در شکل ۲- ۷نشان داده شده است:

شکل ۲‑۷ خوشه بندی کلاسیک نمونه های ورودی.
در این شکل تابع تعلق مرتبط به خوشه­ی A را نشان می­دهد. تابع تعلق خوشه­ی B متمم تابع تعلق A می­باشد. همان­طور که مشاهده می­کنید نمونه­های ورودی تنها به یکی از خوشه ­ها تعلق دارند و به­عبارت، دیگر ماتریس U به­ صورت باینری می باشد. حال اگر از خوشه بندی فازی استفاده گردد، همان­طور که در شکل ۲-۸ مشاهده می­کنید، تابع تعلق هموارتر است و مرز بین خوشه ­ها به­ طور قطع و یقین مشخص نشده است. به­عنوان مثال، نمونه ­ای که با فلش مشخص شده است با درجه تعلق ۰٫۲ به خوشه­ی A و با درجه­ تعلق ۰٫۸ به خوشه­ی B نسبت داده شده است.

شکل ۲-۸ خوشه بندی فازی نمونه ها.
در جدول ۲-۱ نقاط ضعف و قوت الگوریتم c میانگین فازی نشان داده شده است.
جدول۲‑۲ معایب و محاسن الگوریتم c میانگین فازی.

نقاط قوت الگوریتم c میانگین فازی

نقاط ضعف الگوریتم c میانگین فازی

همگرایی همیشگی پاسخ

زمان محاسبات زیاد

بدون ناظر

وابسته به مقادیر اولیه

همگرا به کمینه های محلی