• همگرایی EKF استاندارد به شدت بستگی به انتخاب اولیه ‌حالت‌ها، برای تخمین دارد و تنظیم کردن پارامترهای فیلتر گام بسیار مهمی برای تخمین است.

      • ( اینجا فقط تکه ای از متن پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

حال با توجه به محدودیت‌های بیان شده برای EKF ، به تشریح فیلتر کالمن خنثی و مشخصات آن می‌پردازیم.
۲-۳-۵ فیلتر کالمن خنثی
ماهیت اصلی فیلتر کالمن توسعه یافته بر اساس خطی سازی آن برای محاسبه میانگین و کوواریانس متغیر تصادفی تحت تبدیل تابع غیرخطی است. فیلتر کالمن خنثی به وسیله‌ی به کار بردن مجموعه‌ای از نقاط به عنوان نمونه‌ای (سیگما) از توزیع چگالی به محاسبه میانگین و کوواریانس می‌پردازد. در روند تبدیل خنثی یک مجموعه از نقاط وزن‌دار به نام سیگما طوری انتخاب می‌شوند که خواص معلوم این نقاط (مانند میانگین و ماتریس کوواریانس ) با توزیع اولیه مطابقت داشته باشد، سپس این نقاط به وسیله‌ی یک تابع تبدیل غیرخطی نگاشت داده می‌شوند و بعد از آن میانگین و کوواریانس آن‌ها محاسبه می‌شود. اگرچه فیلتر کالمن خنثی در نگاه اول شباهت‌هایی جزئی به فیلتر ذره‌ای دارد، ولی در این فیلتر برخلاف فیلتر ذره‌ای، نقاط سیگما به صورت حساب شده انتخاب می‌شوند، در حالی که در فیلتر ذره‌ای این نقاط به صورت تصادفی بدست می‌آیند. همین مسئله باعث می‌شود تا در این فیلتر مشخصات توزیع را با حجم کمتری از محاسبات بدست آورده می شود. تفاوت دوم در اینجاست که در این فیلتر نقاط انتخاب شده وزن‌های با نماد Wi اختصاص داده می شود که این مسئله در فیلتر ذره‌ای وجود ندارد. در شکل ‏۲‌.‌‌۹ مقایسه‌ای بین نحوه‌ی توزیع چگالی و محاسبه میانگین و کوواریانس در فیلترهای توسعه یافته و خنثی مقایسه شده است[۸] ، [۱۱].
شکل ‏۲‌.‌‌۹ مقایسه‌ای بین نحوه‌ی توزیع چگالی و محاسبه میانگین و کوواریانس در فیلترهای توسعه یافته و خنثی.

  • تئوری فیلتر کالمن خنثی

فرض کنید که بردار تصادفی x تحت نگاشت غیرخطی g، بردار تصادفی y را تولید کند:
(‏۲‌.‌۱۱)
بردار x دارای میانگین و ماتریس کوواریانس خطای باشد. می‌توان میانگین و کوواریانس y را از روی مشخصات آماری بردار x و توسط تشکیل یک مجموعه از نقاط سیگما و وزن‌های متناظر بدست آورد.
این مجموعه نقاط سیگما به صورتی انتخاب می‌شود که این مجموعه دارای میانگین و ماتریس کوواریانس خطا به صورت باشد. سپس تابع غیرخطی (y=f(x را به این مجموعه نقاط اعمال کرده و در نهایت از نقاط حاصل برای یافتن میانگین و ماتریس کوواریانس خطا استفاده می‌شود.
مجموعه نقاط سیگما باید آنچنان انتخاب شوند که اطلاعات مشخصی از توزیع احتمال نظیر میانگین، ماتریس کوواریانس خطا و شیب توزیع احتمال را در برگیرد، بدین معنا که مشخصات آماری (میانگین، ماتریس کوواریانس خطا و شیب) نقاط سیگما را همین مشخصات از بردار تصادفی x برابر باشد. البته در اینجا فرض ما بر اینست که اولاً توزیع ما یک توزیع گوسی می‌باشد و ثانیاً در بین مشخصات آماری توزیع احتمال، هدف ما فقط یافتن میانگین و ماتریس کوواریانس خطای توزیع احتمال می‌باشد. با توجه به گفته‌های بیان شده، اولین قدم در استفاده از این تبدیل، یافتن نقاط سیگما با نماد xi و وزن‌های متناظر با آن‌ها ، Wi می‌باشد.
انتخاب مجموعه نقاط سیگما
با این فرض که بردار تصادفی x دارای میانگین و ماتریس کوواریانس می‌باشد، برای انتخاب نقاط سیگما، xi و وزن‌های متناظر با آن‌ها، Wi می‌توان از یکی از الگوریتم‌های زیر استفاده نمود.
در الگوریتم اول مجموعه نقاط سیگما۲n تا می‌باشد و به صورتی که در ادامه می‌آیند، انتخاب می‌شوند:
(‏۲‌.‌۱۲)
الگوریتم دوم مجموعه نقاط سیگما با ۲n+1 عضو درست می‌کند.
(‏۲‌.‌۱۳)
در الگوریتم سوم نیز مجموعه نقاط سیگما دارای ۲n+1 عضو می‌باشند.
(‏۲‌.‌۱۴)
در الگوریتم‌هایی که در بالا به آن‌ها اشاره شد، n بعد بردار حالت است. k یک فاکتور تنظیم‌کننده بوده که به منظور تنظیم گشتاورهای مرتبه بالا و همچنین کاهش خطای پیش‌بینی استفاده می‌شود و از شرط n+k≠۰ پیروی می‌کند. k برای مواقعی که توزیع ما گوسی است که از رابطه n+k=3 پیروی می‌کند. نکته بسیار مهم در انتخاب وزن‌ها اینست که باید مجموع وزن‌ها برابر با عدد یک شود، ، زیرا همین مسئله بدون بایاس بودن تخمین را تضمین می‌کند. منظور از ، سطر یا ستون iام از ماتریس جذر P می‌باشد که اگر P=ATA باشد، آنگاه i شماره سطرهای A است و اگر P=AAT باشد، آنگاه i شماره ستون‌های A می‌باشد. در ضمن برای یافتن می‌توان از روش تجزیه چولسکی[۴۷] که در نرم‌افزار Matlab دارای دستور مشخصی است ، استفاده کرد.
از آنجا که مجموعه نقاط سیگما در الگوریتم سوم با دقت بیشتری ، نسبت به دو الگوریتم اول ، میانگین و کوواریانس بردار x را پوشش می‌دهد و از طرف دیگر در اغلب کاربردها فیلتر خنثی از این الگوریتم استفاده شده، لذا در این تحقیق الگوریتم سوم برای انتخاب نقاط سیگما بکار رفته است.
الگوریتم فیلتر کالمن خنثی
در ابتدا مدل فضای حالت سیستم را همانند، فیلتر کالمن توسعه یافته به صورت زیر در نظر می‌گیریم:
(‏۲‌.‌۱۵)
(x(t بردار تصادفی حالت در لحظه k با بعد n ، yk بردار اندازه‌گیری با بعد m ، f تابع غیرخطی مدل پروسه ، h تابع غیرخطی مدل اندازه‌گیری و vn و n به ترتیب با ابعاد r2 و r1 بردار نویز موجود در مدل اندازه‌گیری و مدل پروسه می‌باشند. این نویزها مستقل از یکدیگر و از نوع سفید گوسی با میانگین صفر و ماتریس کوواریانس R و Q هستند و wm نیز یک سیگنال خارجی می‌باشد.
به منظور پیاده‌سازی فیلتر خنثی ابتدا بردار حالت افزوده شده[۴۸] را با اضافه کردن بردار نویز پروسه n به بردار حالت x به صورت زیر تشکیل داده می شود:
(‏۲‌.‌۱۶)
برداری است با بعد که میانگین و ماتریس کوواریانس آن به ترتیب با و تعریف می‌شوند:
(‏۲‌.‌۱۷)
نشان‌دهنده همبستگی[۴۹] بردار حالت و نویز پروسه می‌باشد. این فرمولاسیون نشان می‌دهد که حتی با وجود نویزهای وابسته به بردار حالت نیز می‌توان به راحتی این فیلتر را برای تخمین بردار حالت استفاده نمود. در صورتی که نویز مدل اندازه‌گیری، ، نویز اضافه شونده باشد؛ بلکه به صورت نویز غیر خطی وارد مدل اندازه‌گیری شود و در این صورت می‌توان با اضافه کردن نویز اندازه‌گیری به بردار حالت افزوده شده، باز هم از این فیلتر می‌توان استفاده نمود.
با وجود بردار افزوده شده رابطه زیر مدل پروسه به صورتی که در ادامه می‌آید، بازنویسی می‌گردد:
(‏۲‌.‌۱۸)
حال با وجود بردار حالت افزوده شده با میانگین و ماتریس کوواریانس متناظر با آن، فیلتر کالمن خنثی با دنبال کردن مراحلی که در ادامه می‌آید، پیاده‌سازی می‌شود.

  • با این فرض که مقدار اولیه بردار حالت و ماتریس کوواریانس متناظر با آن می‌باشد، با شروع از k=-1، بردار حالت افزوده شده (xa(t ، میانگین و ماتریس کوواریانس متناظر با آن ، تشکیل داده می شود.
  • توسط بردار حالت افزوده شده که در مرحله قبل تعریف شدند و به وسیله الگوریتم ارائه شده در بخش قبلی، مجموعه نقاط سیگمای افزوده شده محاسبه می شود.
  • نقاط سیگمای افزوده شده بدست آمده، را به مدل پروسه معادله‌ی قبلی اعمال کرده تا نقاط جدید بدست آید:

(‏۲‌.‌۱۹)

  • توسط مجموعه نقاط بردار حالت پیش‌بینی شده و ماتریس کوواریانس خطای متناظر با این بردار حالت بدست آورده می شود:

(‏۲‌.‌۲۰)

  • توسط مجموعه نقاط بدست آمده در مرحله ۳ و اعمال تابع h به این مجموعه، نقاط جدید بدست آورده می شود:

(‏۲‌.‌۲۱)

  • با وجود مجموعه نقاط ، بردار اندازه‌گیری پیش‌بینی شده و ماتریس کوواریانس خطای متناظر با آن‌ محاسبه می شود:
موضوعات: بدون موضوع  لینک ثابت


فرم در حال بارگذاری ...