مدل­هایی که در این فصل مورد بحث قرار گرفته­اند عبارتند از: مدل گاز فرمی، مدل پوسته­­ای، مدل جمعی و مدل شبه کوارکی. علاوه بر اینها متدهای دیگری برای به دست آوردن بعضی خواص هسته­ها مورد استفاده قرار گرفته است، که می­توان از محاسبات مربوط به کشش سطحی هسته­ها نام برد. از کارهای انجام شده در این راستا می­توان به منابع [۱۴-۲۲] اشاره کرد. در مدل آلفا ذره­ای سعی شده است که هسته را مرکب از ذرات آلفا در نظر بگیرند [۲۳ و ۲۴] تا بتوانند برخی خصوصیات هسته را توضیح دهند.
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت nefo.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

۳-۲- مدل گاز فرمی^[۱۹]
یک سیستم شامل تعدادی از نوترون­ها وپروتون­ها که در یک جعبه مکعبی به طول a قرار دارند را در نظر می­گیریم. معادله شرودینگر برای یک تک ذره که در این جعبه قرار دارد به صورت زیر است.
(۳-۱)
با اعمال شرط مرزی، سد پتانسیل بی­نهایت در دیواره­ های جعبه، تابع موج در مرز برابر صفر خواهد شد، . مرز تابع جایی است که یکی از حالات زیر اتفاق بیفتد.
(۳-۲)
عمل دیواره­ های جعبه در واقع جایگزین میانگین برهم­کنش بین نوکلئون­هاست. با تنظیم اندازه جعبه می­توان به چگالی نوکلئون­ها در هسته رسید. حل معادله (۳-۱) با شرایط مرزی داده شده برابر است با:
(۳-۳)
در اینجا روابط زیر برقرار است.
(۳-۴)
در اینجا ، و همگی اعداد صحیح مثبت هستند و A ثابت بهنجارش است. (اعداد صحیح منفی به جواب یکسان با معادله (۳-۳) ختم خواهند شد.) هر مجموعه از اعداد صحیح یک جواب متناظر با انرژی زیر به دست خواهد آورد.
(۳-۵)
این معادله به همراه محدودیت­هایی که معادله (۳-۴) بر روی مقادیر ، و قرار می­دهد نمایانگر کوانتیزه شدن یک ذره در جعبه خواهد شد. از معادله (۳-۵) آشکار است که تکانه (تقسیم بر ) یک ذره در جعبه است.
بنابر اصل طرد پائولی هر حالت می ­تواند با چهار نوکلئون پر شود. دو پروتون با اسپین­های مختلف و دو نوترون با اسپین­های متفاوت. کمترین انرژی هسته با پر شدن پایین­ترین ترازهای انرژی جعبه به دست می ­آید. مقدار این انرژی بستگی به تعداد حالت­های در دسترس دارد.
با در نظر گرفتن فضای تکانه k به خاطر رابطه (۳-۴)، به ازای هر عنصر حجم مکعبی با طول (و حجم ) در این فضا تنها یک نقطه وجود دارد که یک جواب به فرم معادله (۳-۳) برای معادله (۳-۱) وجود دارد. تعداد حالت­های مجاز ، با اندازه k بین k و با رابطه زیر داده می­ شود.
(۳-۶)
در این رابطه حجم پوسته کروی در فضای تکانه با شعاع­های k و است؛ تنها یک هشتم از این پوسته در نظر گرفته شده است، چون ، و تنها مقادیر مثبت را اختیار می­ کنند. حجم فضای تکانه­ای است که هر حالت می ­تواند اشغال کند. شکل (۳-۱) تعداد حالت­های مجاز تا انرژی با رابطه زیر بیان می­ شود.
(۳-۷)
شکل (۳-۱): هر نقطه در محل تقاطع خطوط نماینده یک زوج مجاز است. به منظور یافتن تعداد زوج­های مجاز بین و ، تعداد نقطه­های بین دو کمان دایروی مشخص شده در شکل را می­شماریم. معادله (۳-۶) به طریق مشابه اما در سه بعد به دست آمده است.
چون هر حالت تکانه، براساس اصل طرد پائولی، دو پروتون و دو نوترون را در خود جای دهد. می­خواهیم پایین­ترین سطح انرژی A نوکلئون که برهم­کنشی با همدیگر ندارند، و در یک جعبه به طول a قرار دارند را حساب کنیم. پایین­ترین سطح انرژی هنگامی است که تعداد پروتون­ها و نوترون­ها با هم برابر باشد. بیشترین تکانه خطی با بهره گرفتن از رابطه بالا به دست می ­آید.
(۳-۸)
در اینجا حجم جعبه است. نتیجه­ای که از این رابطه به دست می ­آید این است که تکانه بالاترین حالت اشغال شده تنها به چگالی نوکلئون­ها، ، در جعبه بستگی دارد.
(۳-۹)
ما برهم­کنش بین نوکلئون­ها را نادیده گرفتیم (بجز در حالتی که چگالی را تعیین می­کرد، که از طریق دیوارهای جعبه اعمال شد). با این محدودیت، توزیع تکانه در واحد حجم در فضای تکانه، تابع پله­ای است، با یک مقدار ثابت محدود هنگامی که و برابر با صفر خواهد بود هنگامی که ، شکل (۳-۱). این توزیع تکانه تحت عنوان توزیع فرمی نامیده شده است. در آزمایشات پراکندگی انرژی بالا می­توان توزیع تکانه نوکلئون­ها در هسته­ها را اندازه ­گیری کرد، که نتیجه چنین آزمایشاتی عدم وجود تابع پله­ای به ازای می­باشد، اما احتمال یافتن نوکلئونی با تکانه سریعاً با k کاهش می­یابد.
N(k)
k_F
k
شکل (۳-۲): توزیع تکانه نوکلئون­ها در حالت پایه گاز فرمی. تکانه فرمی و برابر با تعداد حالت­هایی که تکانه بین و دارند.
با بهره گرفتن از مقدار مشاهده شده چگالی هسته­ها، ، که عملاً برای هسته­های با ثابت است، مقدار و را به دست می­آوریم.
(۳-۱۰)
و به ترتیب تکانه فرمی و انرژی فرمی مدل گاز تبهگن است. متوسط انرژی جنبشی فرمیون­های داخل جعبه کمتر از است و با در نظر گرفتن چگالی مشاهده شده هسته­ها از رابطه زیر به دست می ­آید.
(۳-۱۱)
همچنین مناسب است که شعاع هسته­ها را با بهره گرفتن از رابطه به دست آوریم. از آنجایی که چگالی مشاهده شده هسته­ها تقریباً از عدد جرمی آنها مستقل است، رابطه زیر به دست می ­آید.
(۳-۱۲)
با مقدار مشاهده شده چگالی هسته­ها شعاع هسته­ها به دست می ­آید و در نتیجه:
(۳-۱۳)
راه­های گوناگونی برای محاسبه شعاع هسته­ها وجود دارد، چون هسته­ها مرز پله­ای ندارند، بلکه چگالی هسته­ها تقریباً به صورت هموار به صفر می­ کند، معادله (۳-۱۳) نمایانگر شعاع کره­ای است که همه نوکلئون­ها را در بر بگیرد.
با توجه به رابطه (۳-۶) و شکل (۳-۱ ) می­بینیم که به ازای هر مقدار ، به عنوان نمونه، نباید حالت­هایی را بشماریم که ، زیرا در این حالت­ها تابع موج صفر است. تعداد این چنین حالاتی که در عنصر دایروی سطحی و شعاع k قرار دارد برابر است. بنابراین تعداد حالات­های مجاز بین k و برابر است با:
(۳-۱۴)
که در اینجا سطح مکعب دربرگیرنده گاز فرمی است. چون بر حسب نسبت نوشته شده است، برای هسته با هر شکلی معتبر است. می­توان نشان داد که در واقع تابعی از نسبت است. با بهره گرفتن از این رابطه می­توان انرژی هسته را به دست آورد.
(۳-۱۵)
در اینجا و . در این مدل را در واقع ضریب جمله حجمی و را ضریب جمله سطحی در رابطه انرژی بستگی هسته­ها می­دانند.

برای شعاع هسته رابطه برقرار است. و چگالی هسته است. بنابراین و بنابراین ضریب جمله سطحی در رابطه انرژی بستگی بدست می ­آید.
(۳-۱۶)
با جایگزینی مقدار انرژی فرمی، از رابطه (۳-۱۱)، در این رابطه و استفاده از مقدار مشاهده شده چگالی هسته­ها انرژی سطحی برابر با به دست می ­آید؛ که قابل مقایسه با مقدار فرمول نیمه تجربی جرم است (یعنی ).
چندان معقول به نظر نمی­رسد که چگالی هسته­ها را به صورت یک تابع پله­ای که در شکل (۳-۲) نشان داده شده در نظر بگیریم بلکه بهتر است آن را مانند شکل (۳-۳) در نظر بگیریم که با رابطه زیر بیان می­ شود.
(۳-۱۷)
در این صورت تا اولین مرتبه خواهیم داشت.
(۳-۱۸)
از طرف دیگر چگالی متوسط با رابطه زیر بدست می ­آید.
(۳-۱۹)
طرف چب معادله (۳-۱۸) تا اولین مرتبه مستقل از است بنابراین مقدار t برابر خواهد بود با: . مقدار تجربی ضخامت پوست هسته­ها، فاصله­ای است که چگالی هسته­ها از تا چگالی قسمت ثابت تغییر می­ کند. با این تعریف ضخامت پوست برابر می­ شود. اندازه ­گیری ضخامت پوست هسته­ها مقدار را می­دهد که با مقدار به دست آمده با مدل گاز فرمی قابل مقایسه است. البته اگر تابع چگالی به صورت هموارتر تعریف شود. مقدار به دست آمده بهتر خواهد شد [۲۵].