اثبات: [12]، گزارة 2-2.
تعريف 4-3-3: فرض کنیم مجموعه‌اي فشرده و محدب و تراكم آن به باشد . را عنصر ساختاري با اندازة تعريف مي‌كنيم هر گاه شرايط :

1) يك عنصر ساختاري و اندازه است

2){ تراكم‌هاي از عناصر ساختاري با اندازة

را فراهم كند و مي‌نويسم .

هم چنين عناصر ساختاري را با تعريف مي‌كنيم.

در واقع در اين تعريف، را به صورت مجموعه همه نقاط فرين تحويل‌ناپذير و را مجموعه ی همه ی نقاط فرين و تحويل‌ناپذير در نظر مي‌گيريم كه تراكم نقاطفرين تحويل ناپذير نباشد.

قضيه4-3-4: اگر يك زير مجموعه ی محدب فشرده از باشد آن‌گاه .

اثبات: [12]، قضيه 5-4.
قضيه 4-3-5 : اگر يك زير مجموعه ی فشرده از باشد آن‌گاه فشرده است و به طوري كه هر عنصر يك تركيب محدب از حداكثر عنصر از است .

اثبات: [5] قضيه 4-2.
قضيه زير را مي‌توان از قضاياي 4-3-3 و 4-3-4 نتيجه گرفت.
قضيه 4-3-6 : هر را مي‌توان به صورت جمع متناهي بيان كرد به طوری كه . بنابراين غلاف محدب مجموعه ی در است به طوري كه .

قسمت اول قضیه، از قضيه ی 4-3-4 نتيجه مي‌شود و اينكه در اين قضيه همان عدد مورد نظر در قضيه 4-3-5 است. چون هر نقطه همان كه تحويل‌ناپذير است.

در قسمت دوم قضيه اينكه و به خاطر اين است كه اولاً طبق قسمت اول همين قضيه يعني به صورت جمع متناهی است كه ها عضو هستند (كه ) و و اين همان تعريف است. هم چنين ها نيز همان هستند پس . دوماً طبق تعريف 4-3-3، .

هم چنین چون يك تراكم است كه ) وقتي يك تصوير متعامد است( و طبق نكته قبل از قضيه 4-3-6 ديديم كه وقتي يك نقطه مثل فرين و تحويل‌ناپذير در باشد كه تراكم نقطه یفرين‌تحويل‌ناپذيراز هست، گوييم كه يك تصوير است. بنابراين :

در قضيه 4-4-2 نشان خواهيم داد كه عناصر به شكل ، نقاط فرين در هستند. از آن جايي كه هر به وضوح مي‌تواند به عنوان تركيب محدب از بيان شود بنابراين بعداً از قضيه 4-3-6 نتيجه مي‌شود كه . چون وقتي و بنابراين :

البته اين مطلب قضيه 3-3-2 را در حالت ثابت مي‌كند.

طبق لم 6-4 از [12] مي‌بينيم كه اگر يك مجموعه ی محدب فشرده باشد و آن‌گاه. اکنون ما به لم 4-4-1 كه تغيير جزئي همين لم 6-4 از [12] است، نياز داريم كه در بخش بعدي آن را بيان و اثبات مي‌كنيم.

4-4: قضيه 3-3-2 در حالت متناهي البعد:
لم 4-4-1: فرض ‌كنيمو به طوری که فرض کنیم که و طولپا است؛ آن گاه یکانی و ماتریس موجودند به طوری که و به طوری که ماتریس همانی است.

اثبات:
ابتدا فرض کنیم بنابراین یعنی و فرض کنیم یعنی یک شمول از به است. طبق قضیه 4-3-6 چون نتیجه می­ شود که :

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

اکنون فرض کنیم تجزیه قطری باشد که یک طولپا یا هم طولپا است چون در یک فضای متناهی البعد کار می­کنیم و در این فضا طولپا و یکانی­ها یکی هستند. همچنین هم طولپاها و یکانی­ها نیز یکی هستند لذا وقتی یک طولپای جزئی پوشا به بردش باشد، یکانی نیز است و می­توان در فضای متناهی البعد آن را طولپا یا هم طولپا در نظر گرفت بنابراین :

به طوری که . چون پس و چون نیز محدب است و نتیجه می­ شود که .

قرار می­دهیم از آن جایی که ، یک نقطه فرين و تحویل­ناپذیر دراست پس طبق ملاحظه 4-2-5،. بنابراین اگر طبق لم 4-1-5 و تحویل­ناپذیری نتیجه می­ شود که و ها اسکالر هستند.