(۴-۵۱)
از آنجا که عملگر همبستگی نشان‌دهنده برهم‌کنش دو ذره‌ای است، آن را به‌طور مشابه با رابطه(۴-۵۰) می‌نویسیم به عبارت دیگر داریم:
(۴-۵۲)
که در آن مولفه روی هر کانال است. عملگر تصویر برای کانال‌های تک‌تایی که درآن است را با و عملگر تصویر روی کانال‌های سه‌تایی را که در آن است با نشان می‌دهیم و داریم:

( اینجا فقط تکه ای از متن فایل پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

(۴-۵۳)
(۴-۵۴)
که در آن اسپین نوکلئون اول (دوم) است. می‌توان نشان داد مربع عملگر تصویر روی هر کانال برابر با خود عملگر تصویر روی آن کانال است. همچنین این عملگرها متعامدند یعنی:
(۴-۵۵)
(۴-۵۶)
(۴-۵۷)
با بهره گرفتن از عملگر تانسوری سه عملگر تصویر متعامد را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
(۴-۵۸)
(۴-۵۹)
(۴-۶۰)
با بهره گرفتن از عملگرهای بالا و با انجام تعداد زیادی عملیات جبری، انرژی خوشه‌ای دو جسمی برای ماده‌ی هسته‌ای متقارن به صورت زیر در می‌آید:
(۴-۶۱)
که در آن و ضرایب با توجه به فرمول‌های زیر تعیین می‌شود
(۴-۶۲)
(۴-۶۳)
برای محاسبه باید توابع همبستگی حالت‌ها یعنی ها معلوم باشند. در روش‌های وردشی معمول آنها را چنان پارامتری می‌کنند که شرایط عمومی را که در فصل قبل توضیح دادیم برآورده می‌کند. اما روش یک روش وردشی خالص است که در آن از حل معادله‌های اویلر لاگرانژ، ها به دست می‌آیند. در این روش با توجه به اینکه شرط بهنجارش سیستم فرمیونی شرایط حدی را بر تابع همبستگی اعمال می‌کند، در محاسبه‌ی انرژی خوشه‌های دو ذره‌ای تنها یک قید برای ها وجود خواهد داشت. این قید شرط بهنجارش تابع موج سیستم است و متناظر با این قید یک ضریب نامعین لاگرانژ ، در معادله اویلر لاگرانژ ظاهر می‌شود. به همین دلیل این روش، روش پایین‌ترین مرتبه قید نامیده می‌شود. با بهره گرفتن از شرط بهنجارش سیستم:
(۴-۶۴)
به رابطه زیر می‌رسیم:
(۴-۶۵)
که در آن تابع پائولی است و به صورت زیر تعریف می‌شود:
(۴-۶۶)
این قید منجر به اعمال شرایط مرزی زیر روی ها می‌شود:
(۴-۶۷)
با اعمال این قید در معادله‌های اویلر لاگرانژ بسط خوشه‌ای انرژی همگرا می‌شود و با تغییر متغیر مناسب، معادله‌های اویلر لاگرانژ به صورت زیر در می‌آیند:
(۴-۶۸)
(۴-۶۹)
(۴-۷۰)
که:
(۴-۷۱)
در معادله‌های دیفرانسیل بالا (معادله‌های اویلر-لاگرانژ) قید تا فاصله معینی اعمال می‌شود تا جایی که مشتق تابع همبستگی با مشتق تابع پائولی برابر شود، پس از آن تابع همبستگی با تابع پائولی جایگزین می‌شود. بنابراین در فرمول هیچ پارامتر آزادی وارد نمی‌شود. از حل معادله‌های اویلر-لاگرانژ بالا تابع‌های همبستگی به دست می‌آیند. تابع‌های همبستگی کانال‌های تکتایی و سه‌تایی غیر کوپل و کانال‌های سه‌تایی کوپل را محاسبه کرده و نمودار آنها را بر حسب در شکل‌های(۴-۱۹) تا(۴-۳۴) رسم کرده‌ایم. با بهره گرفتن از تابع‌های همبستگی و جایگذاری آنها در رابطه‌ی(۴-۶۱) انرژی خوشه‌های دوتایی را با بهره گرفتن از پتانسیل به دست می‌آوریم. در این راستا با حل عددی انتگرال‌های مربوطه انرژی خوشه‌های دوتایی، انرژی ماده‌ی هسته‌ای را با جایگذاری روابط (۳-۱۴) و(۴-۶۱) در رابطه (۴-۴۸) به دست می‌آوریم. نمودار انرژی ماده‌ی هسته‌ای متقارن، ماده‌ی هسته‌ای نا‌متقارن و ماده‌ی نوترونی در دمای را در شکل (۴-۱) مقایسه نموده‌ایم. همچنین تراکم‌ناپذیری را از رابطه(۲-۵۰) به دست می‌آوریم که مقادیر آن را در جدول (۴-۱) نشان داده‌ایم.
۴-۳-معادله حالت ماده‌‌‌ی هسته‌ای
به‌طور کلی ماده‌ی هسته‌ای دو نوع است. ماده‌ی هسته‌ای متقارن که در آن تعداد پروتون‌ها و نوترون‌ها برابر است و ماده‌ی هسته‌ای نامتقارن که در آن تعداد پروتون‌ها و نوترون‌ها برابر نیست.
۴-۳-۱-ماده‌ی هسته‌ای متقارن
اگر تعداد نوترون‌ها و پروتون‌های موجود در ماده‌ی هسته‌ای با هم برابر باشند، ماده‌ی هسته‌ای را متقارن می‌نامند. تعداد نوکلئون‌ها را می‌توان به صورت زیر نوشت:
(۴-۷۲)
چون تابع توزیع نوکلئون‌ها پیوسته است به انتگرال تبدیل می‌شود [۳۷]:
(۴-۷۳)
که در آن حجم سیستم و است. تابع توزیع فرمی-دیراک در دمای است. با توجه به اینکه هر نوکلئون دو درجه آزادی اسپین و آیزواسپین دارد، با جایگذاری رابطه‌ی(۴-۷۳) در رابطه‌ی(۴-۷۲) پتانسیل شیمیایی ماده‌ی هسته‌ای متقارن را از رابطه‌ی زیر به دست می‌آوریم:
(۴-۷۴)
انرژی آزاد هلمهولتز ماده‌ی هسته‌ای متقارن با جایگذاری انرژی از رابطه(۴-۴۸) و آنتروپی از رابطه(۲-۴۵) در رابطه به دست می‌آید. نمودار انرژی آزاد ماده‌ی هسته‌ای متقارن بر حسب چگالی در دماهای مختلف را در شکل (۴-۶) نشان داده‌ایم. همچنین فشار از رابطه (۲-۴۹) به دست می‌آید که نمودار فشار بر حسب چگالی ماده‌ی هسته‌ای متقارن در دماهای مختلف را در شکل (۴-۱۴) رسم کرده‌ایم.
۴-۳-۲-ماده‌ی هسته‌ای نامتقارن
در ماده‌ی هسته‌ای نامتقارن تعداد پروتون‌ها و نوترون‌ها برابر نیستند. در ماده‌ی هسته‌ای نامتقارن کمیتی به نام پارامتر عدم تقارن به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
(۴-۷۵)
که در آن چگالی پروتون‌ها (نوترون‌ها) است. هرگاه تعداد نوترون‌های موجود در هسته با تعداد پروتون‌های آن برابر نباشد پارامتر عدم تقارن می‌شود. در این صورت ماده‌ی هسته‌ای نا‌متقارن داریم. برای محاسبه معادله حالت ماده‌ی هسته‌ای نامتقارن نیز مانند ماده‌ی هسته‌ای متقارن احتیاج داریم که ابتدا پتانسیل شیمیایی را به دست آوریم. اما در ماده‌ی هسته‌ای نامتقارن چون تعداد پروتون‌ها و نوترون‌ها مساوی نیستند باید برای هر کدام جداگانه پتانسیل شیمیایی را محاسبه کنیم. با بهره گرفتن از رابطه زیر:
(۴-۷۶)
چگالی پروتون‌ها و نوترون‌ها به صورت زیر به دست می‌آیند:
(۴-۷۷)
(۴-۷۸)
با جایگزینی(۴-۷۳) در رابطه‌ی(۴-۷۲) و با بهره گرفتن از روابط فوق پتانسیل شیمیایی ماده‌ی هسته‌ای نامتفارن را به دست می‌آوریم:
(۴-۷۹)