اینشتین برای فرمول بندی نسبیت عام، بنا را بر اصل هم ارزی گذاشت. اصل ماخ که مجموعه‌ای از ایده‌هاست، انگیزه‌ی مهمی در فرمول بندی نسبیت عام بود. بنابراین اصل، ماده‌ی موجود در جهان تعیین کننده‌ی ساختار فضا- زمان است. به تعبیر دیگر مفاهیم(لخت) و (نا چرخان) بدون وجود ماده در جهانی بی معنی می‌شوند. اما می‌توان این سوال را نیز مطرح کرد: چرا نتوان گرانش را در فضا- زمان تخت مینکوفسکی فرمول بندی کرد. یعنی با این فرض که ساختار فضا-زمان ثابت است،چه اشکالی در فرمول بندی گرانش پیش می‌آید.

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

اولین بار پوانکاره در سال ۱۹۰۵ کوشید گرانش نیوتونی را در قالب نسبیت خاص درآورد. نورداستروم در سال ۱۹۱۲ یک نظریه‌ی میدان نسبیتی با بهره گرفتن از یک میدان نرده‌ای برای گرانش فرمول بندی کرد. اینشتین و فوکر در سال ۱۹۱۴ و برگمن در سال ۱۹۵۶ نیز نظریه‌های نرده‌ای برای گرانش ارائه دادند. پیشگویی تمام این نظریه‌ها در مورد انحراف نور و پیشروی حضیض عطارد با داده‌های مغایرت دارد.
۱-۵ لاگرانژی فیرتز- پائولی
برای بیان گرانش به صورت یک میدان نسبیت خاصی، میدانی متناظر با ذره‌ای به جرم سکون صفر در نظر می‌گیریم، در غیر این صورت برد برهم کنش گرانشی متناهی می‌شود که مغایر با تجربه است. به علاوه ذره‌ی واسط برهم کنش گرانشی(گراویتون) نمی‌تواند فرمیون باشد. فرمیون بی جرم با اسپین ۲/۱ (نوترینو) جوابگوی گرانش نیست و همین طور فرمیون های دیگر همین‌گونه است. از میان بوزون ها نیز میدان نرده‌ای متناظر با اسپین صفر جوابگوی گرانش نیست. ذره‌ی اسپین یک با یک میدان برداری نمایش داده می‌شود که به الکترودینامیک می انجامد و ذرات واسط آن بار مثبت و منفی دارند. به این ترتیب انتظار می‌رود گراویتون، ذره‌ی واسط برهم کنش گرانشی، دارای اسپین دو باشد که الزاماً با یک میدان تانسوری نمایش داده خواهد شد. فیرتز و پائولی برای اولین بار در دهه ۳۰ قرن گذشته لاگرانژی یک میدان تانسوری بی جرم را در چارچوب نسبیت خاص فرمول بندی کردند.
لاگرانژی فیرتز-پائولی به این صورت است:
(۱-۱۹)
این لاگرانژی تحت تبدیلات پیمانه‌ای
(۱-۲۰)
ناورداست. در اینجا توابع دلخواه وK ثابت دلخواهی است با بعد معکوس جرم. K را با معکوس جرم پلانک یکی می‌گیریم:
که در آن G ثابت نیوتون است .معادلات اویلر-لاگرانژ، معادلات میدان به صورت زیر در‌ می‌آیند:
(۱-۲۱)
که در آن عملگر چنین تعریف شده است:
(۱-۲۲)
می‌توان نشان داد که این عملگر برای ‌ای متقارن در اتحاد زیر صدق می‌کند:
(۱-۲۳)
که آن را اتحاد به یانکی می‌نامند.
مطالعه‌ی جزی‌تر و حرکت یک ذره در آن میدان گرانش برای اولین بار توسط تیرینگ انجام شده است. تیرینگ نشان داد که در تقریب اول حرکت ذره در این میدان به گونه‌ای است که گرچه میدان در فضای مینکوفسکی نوشته شده است اما ذره روی مسیری حرکت می‌کند که مانند فضازمان ری‌مانی با متریک
و مسیر یک خم ژئودزیک آن است. پس به نظر می‌رسد حرکت ذره در حضور گرانش به گونه‌ای است که متریک فضای تخت معنی خود را از دست می‌دهد و به جای آن متریک فضای ریمانی می‌نشیند، و (ذره‌ی آزاد) در این میدان روی ژئودزیک های این فضا حرکت می‌کند. تیرینگ این واقعیت را تنها در تقریب اول نشان داد. به این معنی که بیان حرکت ذره در میدان تانسوری معادله‌ی میدان را ناسازگار می‌کرد و برای رفع این ناسازگاری افزودن جمله‌هایی از مرتبه‌ی دوم میدان به معادله‌ی میدان الزام آور می‌شد. تیرینگ رفع این ناسازگاری را که در هر مرتبه ظاهر می‌شد تنها تا همان مرتبه‌ی دوم حساب کرده بود.
برای درک بهتر این ناسازگاری ،میدان فیرتز-پائولی را به ماده‌ی دلخواهی جفت می‌کنیم. گیریم تانسور انرژی تکانه ی ماده در میدان باشد،پس معادله‌ی میدان به صورت زیر در می‌آید:
(۱-۲۴)
اما از این معادله‌ی میدان نتیجه می‌شود که واگرایی باید صفر باشد:
(۱-۲۵)
که این شرط اضافی بر رفتار ماده و میدان است. بنابراین معادله‌ی میدان با خواص ماده ناسازگار است. برای رفع این
ناسازگاری جمله‌ی را به سمت راست معادله می‌افزاییم:
(۱-۲۶)
جمله‌ی تانسور انرژی تکانه ی میدان تانسوری تلقی می‌شود، پس باید از مرتبه‌ی دوم در میدان باشد و این جمله هم باید در اتحاد زیر صدق کند:
(۱-۲۷)
پس خواهیم داشت:
(۱-۲۸)
این تانسور افزوده از مرتبه‌ی دوم در تانسور میدان است. در این مرحله متوجه می‌شویم که برای سازگار کردن معادلات میدان به ناچار جملات ناخطی (مجذوری) در سمت چپ معادله‌ی میدان وارد شده‌است. این جملات مجذوری باید ناشی از یک لاگرانژی مرتبه‌ی سوم در باشد. اما تانسور انرژی تکانه ی لاگرانژی ، از مرتبه‌ی سوم است.
روش تیرینگ این ناسازگاری را در حرکت ذره به خوبی به تصویر می‌کشد و نشان می‌دهد که برای رفع آن باید مسیر ذره را خمی ژئودزیک در فضای ری‌مانی در نظر گرفت. به این ترتیب سازگاری معادلات میدان منجر به جمع زدن روی یک سری بین‌هایت می‌شود. اوگیه وتسکی و پولوبارینوف در سال ۱۹۶۵ نشان دادند که این سری بینهایت به معادلات نسبیت عام اینشتین می‌ انجامد. این محاسبه به حدی پیچیده بود که توجه چندانی به آن نشد، گرچه نتیجه آن پذیرفته شد [۴۸].
۱-۶ بردار و هم­بردار
گیریم Fمجموعه‌ی (فضای) توابع مشتق پذیر Fروی Mدر همسایگی P باشد. آن گاه بردار مماس در نقطه Pرا به این صورت تعریف می‌کنیم:
(۱-۲۹)
به گونه‌ای که شرط زنجیره‌ای برقرار باشد:
این بردارهای مماس یک فضای برداری تشکیل می‌دهند و به سهولت می‌توان دید که باید یک بردار باشد:
(۱-۳۰)
فرض کنیم مختصات داده شده باشد، پس می‌توانیم طبق شرط زنجیره‌ای بنویسیم:
(۱-۳۱)
که در آن بردار (عملگر) u است که روی تابع عمل می‌کند. مؤلفه های بردار نسبت به این مختصات به صورت زیر است:
پس می‌نویسیم:
(۱-۳۲)
به این ترتیب n بردار مماس را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
(۱-۳۳)
پس می‌توان هر بردار را به صورت ترکیب خطی این n بردار نوشت. استقلال خطی این بردارها از روی مؤلفه‌هایشان دیده می‌شود:
(۱-۳۴)
۱-۷ هم­ بردار